Equazioni di Eulero (dinamica)

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Le equazioni di Eulero (o equazioni per la dinamica dei sistemi) sono due equazioni differenziali (la terza è da considerarsi a parte ) che descrivono il moto di sistemi newtoniani discreti, permettendo di studiare il comportamento globale del sistema prescindendo da ciò che avviene per le sue singole componenti.

L'importanza delle equazioni di Eulero è quella di semplificare la descrizione globale di un sistema, attraverso la riduzione dei suoi gradi di libertà. Un esempio notevole di applicazione è l'introduzione del modello di corpo rigido per la descrizione di oggetti macroscopici.

Sistemi di masse[modifica | modifica sorgente]

In meccanica, in special modo nella statica e nella geometria delle masse, ai fini di esemplificare al massimo i metodi calcolistici richiesti per risolvere eventuali problemi, è conveniente introdurre il concetto di "sistema di masse".

Un sistema fisico, come è facilmente intuibile, altro non è che l'insieme di corpi (dotati, quindi, di massa), puntiformi o estesi, oggetti dello studio, analitico o grafico, da effettuare. I sistemi di masse possono essere:

  • Sistemi di masse continui, quando sono composti da corpi estesi
  • Sistemi di masse discreti, quando sono composti da corpi puntiformi

Le equazioni di Eulero discrete si applicano soltanto nell'approccio discreto, mentre per l'approccio continuo bisogna utilizzare metodi della meccanica statistica, che portano alle equazioni di bilancio e alle loro approssimazioni (equazioni di Eulero continue ed equazioni di Navier-Stokes, per citare le prime due).

Prima equazione cardinale[modifica | modifica sorgente]

La prima equazione cardinale descrive il moto traslatorio di un sistema in coordinate lagrangiane e corrisponde al secondo principio della dinamica. Un risultato importante dal punto di vista intuitivo è che il centro di massa si muove come un punto materiale di massa m pari alla massa totale del sistema e soggetto a una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti. Essa prende la forma:

\bar{F}=\frac{ \mathrm{d} \bar{q}}{\mathrm{d}t}

dove per un sistema discreto:

  • \bar{F}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\bar{F}_i\end{matrix} è la risultante delle forze esterne agenti sul sistema
  • \bar{q}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\bar{q}_i\end{matrix} è la quantità di moto del sistema
  • m =\begin{matrix}\sum_{i}^N m_i\end{matrix} è la massa totale del sistema

Si può osservare che ponendo F=0 (equivalente alla richiesta che un sistema risulti meccanicamente isolato) si trova che la quantità di moto del sistema è costante. Questo teorema prende il nome di legge di conservazione della quantità di moto.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di sistema chiuso in cui la massa totale non varia nel tempo:

\frac{ \mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = 0

l'equazione si riduce a:

\bar{F}=m \frac{ \mathrm{d} \bar{v}}{\mathrm{d}t} = m \bar{a}

Questa seconda forma presenta il vantaggio di mettere in evidenza:

Seconda equazione cardinale[modifica | modifica sorgente]

La seconda equazione cardinale descrive il moto rotatorio del sistema:

\frac{\mathrm{d} \bar{L}}{\mathrm{d}t}= \bar{M} - \bar{V}_{\Omega} \times \bar{Q}

dove

  • \bar{L}=\begin{matrix}\sum_{i}^N \bar{r}_i \times \bar{q}_i\end{matrix} è il momento angolare del sistema
  • \bar{M}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\bar{r}_i \times \bar{F}_i\end{matrix} è il momento meccanico totale che agisce sul sistema
  • \bar{V}_{\Omega} è la velocità del polo (nome che diamo al punto arbitrario rispetto al quale si calcola il momento angolare)
  • \bar{Q}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\bar{q}_i\end{matrix} è la quantità di moto del sistema

Nel caso in cui la velocità del polo sia nulla (o in direzione parallela al vettore quantità di moto totale del sistema) l'equazione assume la forma semplificata:

\bar{M}=\frac{\mathrm{d} \bar{L}}{\mathrm{d}t}

Anche in questo caso si osserva che ponendo M=0 ritroviamo il risultato importante della conservazione del momento angolare.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si calcola il momento angolare di un sistema di punti materiali rispetto a un polo \Omega. Chiamiamo R'_i=R_i - R_{\Omega} la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo.

\bar{L}_{\Omega}= \sum_{i}^N \bar{R'}_i \times \bar{q}_i

Ora lo deriviamo rispetto al tempo. Si fa uso della regola di derivazione del prodotto di funzioni.

\frac{\mathrm{d}\bar{L}_{\Omega}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i}^N \left[ \frac{\mathrm{d}\bar{R'}_i}{\mathrm{d}t} \times \bar{q}_i +  \bar{R'}_i  \times \frac{\mathrm{d}\bar{q}_i}{\mathrm{d}t}\right] = \sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\bar{R}_i}{\mathrm{d}t}\times \bar{q}_i \right] - \sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\bar{R}_{\Omega}}{\mathrm{d}t} \times \bar{q}_i\right] + \bar{M}

Si osserva che il primo dei tre termini è \begin{matrix} \sum_{i} \frac{1}{m_i} \left( \bar{q}_i \times \bar{q}_i \right) \end{matrix}=0 , per le proprietà dei prodotti vettoriali. Il secondo termine è:

\sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\bar{R}_{\Omega}}{\mathrm{d}t} \times \bar{q}_i\right] = \bar{V}_{\Omega} \times \sum_i \bar{q}_i= \bar{V}_{\Omega} \times \bar{Q}


Dunque in definitiva:

\frac{\mathrm{d} \bar{L}_\Omega}{\mathrm{d}t}= \bar{M} - \bar{V}_{\Omega} \times \bar{Q}

che è proprio la nostra tesi.

Terza equazione cardinale[modifica | modifica sorgente]

La terza equazione cardinale fornisce una descrizione superiore del moto sia traslatorio che rotatorio del sistema attraverso il concetto di potenza, ma non è necessaria alla determinazione dello stesso:

\frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}t}= \bar{F} \cdot \bar{V}_O+ \bar{M} \cdot \bar{\Omega}_O

dove

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si calcola il lavoro totale (che non chiamiamo L solo per non confonderlo col momento angolare totale) di un sistema di punti materiali rispetto a un polo O. Chiamiamo r'_i=r_i - R_O la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo. Per la equazione fondamentale della cinematica, e poiché le forze interne non lavorano:

dW=\sum{dw}=\sum{{\bar f_i\cdot d\bar r_i}}=\sum{\bar f_i\cdot (\bar{V}_O+\bar{\Omega}_O\times\bar{r'_i})dt}=

=\sum{\bar f_i\cdot\bar{V}_O} dt + \sum{\bar f_i\cdot\bar{\Omega}_O\times\bar{r'_i}}dt =
=\sum{\bar f_i} \cdot\bar{V}_O + \sum{\bar{\Omega}_O\cdot\bar{r'_i}\times\bar{f}_i}dt =
=(\sum{\bar f_i} \cdot\bar{V}_O + \bar{\Omega}_O\cdot\sum{\bar{m_i}})dt =

Dunque in definitiva la potenza risulta:

\frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}t}= \bar{F} \cdot \bar{V}_O+ \bar{M} \cdot \bar{\Omega}_O

che è proprio la nostra tesi: la potenza deriva quindi da tutti i tipi di forze generalizzate, confermando la sintesi della meccanica lagrangiana.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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