Lemma di Poincaré

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In analisi matematica e calcolo vettoriale il lemma di Poincaré afferma che l'irrotazionalità equivale alla conservatività:

Se un campo vettoriale:

\bar V(\bar x) =(V_1(x_1, ... x_n), ... V_n(x_1, ... x_n))

è definito su un insieme aperto stellato \vec A \subset \mathbb{R}^n o in un insieme semplicemente connesso, è della prima classe di continuità, ed è irrotazionale:

\bar V: \vec A \rightarrow \mathbb{R}^n, \bar V \in C^1(\vec A), \nabla \times \bar V =\bar 0,

allora il campo è conservativo, cioè esiste una funzione detta potenziale tale che il suo gradiente è il campo:

\exist U(\bar x) \in C^{n-1}(\vec A) \bar V(\bar x) = \nabla U(\bar x)

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