Lemma di Poincaré

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In analisi matematica e calcolo vettoriale, il lemma di Poincaré, il cui nome si deve a Jules Henri Poincaré, afferma che se A \subset \R^n è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su A è una forma differenziale esatta per ogni intero p>0. La contrattilità dello spazio significa che esiste un'omotopia F_t : A \times [0,1] \to A che deforma in modo continuo A fino a farlo diventare un punto.

Nel caso di campi vettoriali, una forma chiusa corrisponde ad un campo irrotazionale, in cui le derivate parziali incrociate delle componenti sono uguali. In tale contesto il teorema mostra che l'irrotazionalità equivale alla conservatività del campo; ovvero, se un campo vettoriale \mathbf V: A \rightarrow \R^n:

\mathbf V(\mathbf x) =(V_1(x_1, \dots x_n), \dots V_n(x_1, \dots x_n))

è definito su un insieme aperto stellato A \subset \R^n (o in un insieme semplicemente connesso), è della prima classe di continuità (ovvero \mathbf V \in C^1(A)), ed è irrotazionale:

\nabla \times \mathbf V =\mathbf 0

allora il campo è conservativo, cioè esiste una funzione  U(\mathbf x) \in C^{n-1}(A) detta potenziale tale che il suo gradiente è il campo:

\mathbf V(\mathbf x) = \nabla U(\mathbf x)

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