Rotore (matematica)

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Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore vettoriale che ne descrive la rotazione infinitesima, associando ad ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione. Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali.

Il rotore, indicato con  \nabla \times , misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore, caso particolare del teorema di Stokes, che mette in relazione l'integrale di superficie S del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera \partial S di S.

A differenza di gradiente e divergenza, generalizzare il rotore a spazi di dimensione maggiore non è semplice. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in tre dimensioni la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale. Da questo punto di vista, il rotore ha proprietà simili a quelle del prodotto vettoriale.

Interpretazione intuitiva[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo che un campo vettoriale (tridimensionale) \mathbf F descriva la velocità di un liquido o un gas. Immaginando di fissare il centro di una piccola sfera in un punto, se questa sferetta ha una superficie ruvida allora inizierà a ruotare su se stessa, mossa dallo scorrere del liquido. Il rotore \nabla \times \mathbf F valutato nel centro della sfera è un vettore che ha come direzione l'asse di rotazione della sfera e come lunghezza la metà del valore assoluto del momento angolare della sfera. Inoltre, il senso di rotazione è associato al vettore in accordo con la regola della mano destra.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sotto l'ipotesi che un campo vettoriale \mathbf F sia di classe C^1, il rotore \nabla \times \mathbf F di \mathbf F è definito in ogni punto attraverso la sua proiezione su un versore \mathbf{\hat{n}} di \R^3 posto nel punto: si tratta del valore dell'integrale di linea \scriptstyle\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} del campo in un piano ortogonale a \mathbf{\hat{n}} nel limite in cui la curva C di integrazione si riduce ad un punto, cioè nel limite in cui l'area A delimitata da C tende ad annullarsi, diviso per l'area |A|. Questo si esprime col prodotto scalare:

(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)

Si tratta di una scrittura del teorema del rotore, e si può interpretare il prodotto scalare tra \nabla \times \mathbf F ed il vettore unitario \mathbf n come densità superficiale di circuitazione del campo \mathbf F attorno alla direzione \mathbf{\hat{n}}.

In un sistema di riferimento con coordinate curvilinee ortogonali (u_1,u_2,u_3), come le coordinate cartesiane, sferiche, cilindriche, ellittiche o paraboliche, il rotore di \mathbf F = (F_1,F_2,F_3) è dato da:

(\nabla \times \mathbf F)\,_3=\frac{1}{a_1a_2}\left (\frac{\partial (a_2F_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (a_1F_1)}{\partial u_2}\right )

dove se, ad esempio, (x_1,x_2,x_3) sono le coordinate cartesiane si ha:

a_i = \sqrt{\sum \limits_{j = 1}^{3}\left (\frac{\partial x_j}{\partial u_i}\right )^2}

Le restanti due componenti del rotore si ottengono dalla permutazione cilindrica degli indici: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

Più in generale, per un campo tensoriale il rotore è dato da:[1]

(\nabla \times B )^k = \epsilon^{k\ell m} B_{m ; \ell}

dove ; denota la derivata covariante. Utilizzando invece la derivata esterna:

 \nabla \times \mathbf{F} = \left[ \star \left( {\mathbf d} F^\flat \right) \right]^\sharp

dove \scriptstyle\flat e \scriptstyle\sharp sono isomorfismi musicali e \scriptstyle\star è il duale di Hodge.

Quest'ultima formulazione è valida in un sistema di coordinate generico, e consente di estendere il rotore a varietà riemanniane orientate. Dato che dipende dall'orientazione della varietà, il rotore è un operatore chirale: se cambia l'orientazione cambia anche il verso del rotore.

Coordinate cartesiane[modifica | modifica sorgente]

In coordinate cartesiane, detti \mathbf i, \mathbf j, e \mathbf k i versori degli assi, il rotore di un campo vettoriale \mathbf F = (F_x,F_y,F_z) è il campo vettoriale \nabla \times \mathbf F definito da:

\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & {-\frac{\partial}{\partial z}} & {\frac{\partial}{\partial y}} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial z}} & 0 & {-\frac{\partial}{\partial x}} \\
 \\  {-\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial x}} & 0 \end{vmatrix} \mathbf{F}

dove nella seconda uguaglianza si è esplicitata l'equazione matriciale, mentre nella prima la scrittura indica il determinante formale della matrice:

\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{i} \left (\frac {\partial F_z}{\partial y} - \frac {\partial F_y}{\partial z} \right ) + \mathbf{j} \left (\frac {\partial F_x}{\partial z} - \frac {\partial F_z}{\partial x} \right) + \mathbf{k} \left (\frac {\partial F_y}{\partial x} - \frac {\partial F_x}{\partial y} \right)

Coordinate cilindriche[modifica | modifica sorgente]

Dato invece un sistema di riferimento in coordinate cilindriche ( x = \rho \cos \phi, y = \rho \sin \phi, z = z ), il rotore di \mathbf F(\rho,\phi,z) = \mathbf{e}_{\rho} \ F_{\rho} + \mathbf{e}_{\phi} \ F_{\phi} + \mathbf{e}_{z} \ F_{z} è dato da:

\nabla \times \mathbf F = \mathbf{e}_{\rho} \ \left (\frac {1}{\rho} \frac {\partial F_{z}}{\partial \phi} - \frac {\partial F_{\phi}}{\partial z} \right ) + \mathbf{e}_{\phi} \ \left (\frac {\partial F_{\rho}}{\partial z} - \frac {\partial F_z}{\partial \rho} \right) + \mathbf{e}_z \ \frac {1}{\rho} \left (\frac {\partial (\rho F_{\phi})}{\partial \rho} - \frac {\partial F_{\rho}}{\partial \phi} \right)

Rotore come derivata esterna[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Derivata esterna.

Ad un campo vettoriale \mathbf F = (F_x,F_y,F_z) nello spazio possiamo associare una corrispondente 1-forma differenziale

\omega = F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y + F_z \mathrm{d}z

allora la sua derivata esterna risulta essere la 2-forma

\mathrm{d}\omega = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) dy \wedge dz
+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) dz  \wedge dx
+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) dx \wedge  dy
= (\nabla \times \mathbf F)_x  dy \wedge dz + (\nabla \times \mathbf F)_y  dz \wedge dx + (\nabla \times \mathbf F)_z  dx \wedge dy

Identità vettoriali[modifica | modifica sorgente]

In coordinate cartesiane si mostra che \nabla \times ( \mathbf{v \times \mathbf F}) è uguale a:

\nabla \times \left( \mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F}

e se si invertono il campo vettoriale e \nabla:

 \mathbf{v \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_F \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F}

dove \nabla_F significa che il gradiente agisce solo su \mathbf F.

Sempre in coordinate cartesiane, \nabla \times ( \nabla \times \mathbf F ) è dato da:

 \nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla} (\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F}

dove \nabla^2 \mathbf{F} è il laplaciano vettoriale di \mathbf F. Questa relazione può essere vista come un caso particolare della precedente sostituendo v → ∇.

Il rotore del gradiente di ogni campo scalare \varphi è nullo:

\nabla \times ( \nabla \phi )  = \vec{0}

mentre se \varphi è una funzione scalare e \mathbf F un campo vettoriale:

\nabla \times ( \varphi \mathbf{F}) = \nabla \varphi \times \mathbf{F} + \varphi \nabla \times \mathbf{F}

Inoltre, il rotore del rotore è:

\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{F} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{F} \right) - \mathbf{F} \left( \nabla \cdot \nabla \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{F} \right) - \nabla^2 \vec{F}

Ovvero, il rotore del rotore è uguale al gradiente della divergenza meno il laplaciano.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Si consideri il seguente campo vettoriale, che dipende da x e da y linearmente:

\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}.

La sua rappresentazione nel piano cartesiano è:

Uniform curl.svg

Dalla semplice ispezione visiva si nota che il campo "sta ruotando", ed usando la regola della mano destra si ottiene il verso del rotore, che è entrante nella pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. Infatti, calcolando il rotore secondo la definizione:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}  =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}

In questo caso il rotore è uguale in tutto lo spazio, indipendentemente dal punto che si considera, e quindi l'entità della rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa ovunque. La sua semplice rappresentazione nel piano cartesiano è pertanto:

Curl of uniform curl.JPG

Equazioni di Maxwell[modifica | modifica sorgente]

Nella terza equazione di Maxwell, espressione locale della legge di Faraday-Neumann-Lenz, il rotore del campo elettrico è uguale e opposto al tasso di variazione della densità di flusso magnetico:

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial \mathbf B} {\partial t}

In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, si ottiene la conservatività del campo elettrico:

\nabla \times \mathbf E = 0

Inoltre, nella quarta equazione, espressione locale della legge di Ampère-Maxwell, il rotore del campo magnetico è:

\nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \frac {\partial \mathbf D} {\partial t}

che in condizioni statiche diventa:

\nabla \times \mathbf H = \mathbf J

Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente[modifica | modifica sorgente]

Sia ora \mathbf F = \left(\frac{y}{x^2+y^2}, \ \frac{-x}{x^2+y^2}, \ 0\right). Si noti che tale campo non è definito sui punti dell'asse z ed è ottenuto moltiplicando il campo dell'esempio precedente per l'inverso del quadrato della distanza dall'asse z, quindi un lettore inesperto potrebbe essere indotto a pensare che anche in questo caso il rotore di \vec F debba essere non nullo (una semplice ispezione visiva in questo caso non aiuta molto, anzi è fuorviante!). In realtà, è facile verificare che tale campo è irrotazionale (cioè il suo rotore è nullo):


\nabla \times \mathbf F = \left(0-0, \ 0-0, \ \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right) = (0,\ 0,\ 0).

Il campo in questione, a meno di costanti moltiplicative, coincide con il campo magnetico generato da un filo infinito (l'asse z) percorso da una corrente continua: si tratta appunto di un campo irrotazionale anche se non globalmente conservativo (il lavoro del campo lungo qualunque circuitazione che non racchiuda l'asse z è nullo, mentre non è nullo se la circuitazione racchiude tale asse).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Curl in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
  • (EN) Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York, Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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