Teorema di Helmholtz

In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.

La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione della decomposizione di Helmholtz in cui si considerano, invece che campi vettoriali in $\R^3$, forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto. Poiché $\R^3$ non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita delle forme differenziali presenti.

Il teorema

Sia $\mathbf{F}$ un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio $V \subset \R^3$. Allora $\mathbf{F}$ può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale $\nabla\varphi$ e di un campo vettoriale solenoidale $\nabla\times\mathbf{A}$:

$\mathbf{F}=-\nabla\varphi+\nabla\times\mathbf{A}$

dove $\nabla$ è il gradiente, $\nabla\times$ il rotore e:

$\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\int_{S}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\mathbf{\mathrm{d}S}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\frac{1}{4\pi}\int_{S}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')\times\mathbf{\mathrm{d}S}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$

sono detti potenziali. In particolare, $\varphi$ è il potenziale scalare, $\mathbf{A}$ il potenziale vettore.

Nel caso in cui $V$ coincida con $\R^3$ e $\mathbf{F}$ si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:

$\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$

Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:

$\mathbf{F} (\mathbf{r}) = - \frac{1}{4\pi} \, \nabla \left(\int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r'})} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \, \operatorname dV} \right) +\frac{1}{4\pi} \, \nabla \times \left( \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r'})} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \, \operatorname dV} \right)$

dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate $\mathbf {r'}$ all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate $\mathbf r$ all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate $\mathbf {r'}$.

Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale $\mathbf{F}$ definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono $\nabla \cdot \mathbf{F}$ e $\nabla \times \mathbf{F}$, e vale la condizione:

$\lim_{r \to \infty} \mathbf{F} (\mathbf{r}) \left | \mathbf{r} \right | = \mathbf{F}_{\infty} \qquad \left | \mathbf{F}_{\infty} \right | < \infty$

allora $\mathbf{F}$ è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:

$\mathbf{F} (\mathbf{r}) = - \frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r'}))} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \; \operatorname dV} +\frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r'}))} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \; \operatorname dV}$

Formulazione debole

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che $\Omega$ sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile $\mathbf u \in (L^2(\Omega))^3$ possiede una decomposizione ortogonale:

$\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}$

dove $\varphi$ appartiene allo spazio di Sobolev $H^1(\Omega)$ delle funzioni a quadrato sommabile su $\Omega$ le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre $\mathbf{A}$ appartiene allo spazio di Sobolev $H(\operatorname {curl},\Omega)$ dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi $\mathbf{u} \in H(\operatorname {curl},\Omega)$ leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:

$\mathbf{u}=\nabla\varphi+\mathbf{v}$

dove $\varphi \in H^1(\Omega)$ e $\mathbf v \in (H^1(\Omega))^d$.

Bibliografia

Titoli generali

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101

Formulazione debole del teorema

• C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
• R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Campo vettoriale conservativo
• Campo vettoriale solenoidale
• Derivata parziale
• Divergenza
• Equazioni di Maxwell
• Funzione a quadrato sommabile
• Funzione differenziabile
• Funzione liscia
• Gradiente
• Quadripotenziale
• Rotore (matematica)
• Spazio di Sobolev
• Teoria di Hodge

Collegamenti esterni

• (EN) Eric Weisstein. MathWorld - Helmholtzs Theorem. 2010

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