Teorema di Helmholtz

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In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.

La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione della decomposizione di Helmholtz in cui si considerano, invece che campi vettoriali in \R^3, forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto.[1] Poiché \R^3 non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita delle forme differenziali presenti.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mathbf{F} un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio V \subset \R^3. Allora \mathbf{F} può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale \nabla\varphi e di un campo vettoriale solenoidale \nabla\times\mathbf{A}:[2]

\mathbf{F}=-\nabla\varphi+\nabla\times\mathbf{A}

dove \nabla è il gradiente, \nabla\times il rotore e:

\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\int_{S}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\mathbf{\mathrm{d}S}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\frac{1}{4\pi}\int_{S}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')\times\mathbf{\mathrm{d}S}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}

sono detti potenziali. In particolare, \varphi è il potenziale scalare, \mathbf{A} il potenziale vettore.

Nel caso in cui V coincida con \R^3 e \mathbf{F} si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:[3]

\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'

Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:

\mathbf{F} (\mathbf{r}) = - \frac{1}{4\pi} \, \nabla \left(\int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r'})} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \, \operatorname dV} \right) +\frac{1}{4\pi} \, \nabla \times \left( \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r'})} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \, \operatorname dV} \right)

dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate \mathbf {r'} all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate \mathbf r all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate \mathbf {r'}.

Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale \mathbf{F} definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono \nabla \cdot \mathbf{F} e \nabla \times \mathbf{F}, e vale la condizione:

\lim_{r \to \infty} \mathbf{F} (\mathbf{r}) \left | \mathbf{r} \right | = \mathbf{F}_{\infty} \qquad \left | \mathbf{F}_{\infty} \right | < \infty

allora \mathbf{F} è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:

 \mathbf{F} (\mathbf{r}) = - \frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r'}))} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \; \operatorname dV} +\frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r'}))} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|} \; \operatorname dV}

Formulazione debole[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che \Omega sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile \mathbf u \in (L^2(\Omega))^3 possiede una decomposizione ortogonale:

\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}

dove \varphi appartiene allo spazio di Sobolev H^1(\Omega) delle funzioni a quadrato sommabile su \Omega le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre \mathbf{A} appartiene allo spazio di Sobolev H(\operatorname {curl},\Omega) dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi \mathbf{u} \in H(\operatorname {curl},\Omega) leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:

\mathbf{u}=\nabla\varphi+\mathbf{v}

dove \varphi \in H^1(\Omega) e \mathbf v \in (H^1(\Omega))^d.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jason Cantarella, Dennis DeTurck e Herman Gluck, Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space in The American Mathematical Monthly, vol. 109, nº 5, 2002, pp. 409–442, JSTOR 2695643.
  2. ^ Helmholtz' Theorem, University of Vermont.
  3. ^ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Titoli generali[modifica | modifica wikitesto]

  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101

Formulazione debole del teorema[modifica | modifica wikitesto]

  • C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
  • R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
  • V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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