Dominio lipschitziano

In matematica, un dominio lipschitziano (o dominio a frontiera lipschitziana) è un dominio in uno spazio euclideo la cui frontiera è "sufficientemente regolare", nel senso che può essere pensato essere localmente come il grafico di una funzione lipschitziana. Il termine deriva dal matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

Definizione

Sia n ∈ N, e Ω sia un sottoinsieme aperto e limitato di Rⁿ. Sia ∂Ω la frontiera di Ω. Allora ∂Ω viene definita frontiera lipschitziana ed Ω dominio lipschitziano se per ogni punto p ∈  ∂Ω esiste un raggio r > 0 ed una mappa h_p : B_r(p) → Q tale che

• h_p è una biezione;
• h_p e h_p⁻¹ sono entrambe lipschitziane;
• h_p(∂Ω ∩ B_r(p)) = Q₀;
• h_p(Ω ∩ B_r(p)) = Q₊;

dove

$B_{r} (p) := \{ x \in \mathbb{R}^{n} | \| x - p \| < r \}$

denota la palla n-dimensionale di raggio r attorno a p, Q denota la palla unitaria B₁(0), e

$Q_{0} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} = 0 \};$

$Q_{+} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} > 0 \}.$

Applicazioni dei domini lipschitziani

Molti teoremi di immersione di Sobolev richiedono che il dominio in esame sia lipschitziano; di conseguenza molte equazioni alle derivate parziali e problemi variazionali vengono studiati su domini lipschitziani.

Bibliografia

• Dacorogna, B., Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London, 2004. ISBN 1-86094-508-2

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