Disuguaglianza di Sobolev

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Nel campo dell'analisi matematica esiste una classe di disuguaglianze dette di Sobolev, riguardanti le norme degli spazi di Sobolev. Esse servono per dimostrare il teorema di immersione di Sobolev, sulle inclusioni tra alcuni spazi di Sobolev, ed il teorema di Rellich-Kondrakov, secondo cui, sotto condizioni leggermente più forti, alcuni spazi di Sobolev sono contenuti con compattezza in altri.

Il teorema di immersione di Sobolev[modifica | modifica sorgente]

Si denoti con W^{k,p} lo spazio di Sobolev di una varietà riemanniana compatta di dimensione n, spazio che, detto in breve, è costituito da funzioni le cui prime k derivate sono in Lp. In questo contesto k può essere un qualsiasi numero reale e 1≤p≤∞. (Per p=∞ lo spazio di Sobolev è definito come lo spazio di Hölder Cm, dove k=m+α, 0<α≤1 e m è un numero intero.) Il teorema di immersione di Sobolev afferma che se k≥ l e kn/pln/q allora

W^{k,p}\subseteq W^{l,q}

e questa inclusione è continua. Inoltre se k> l e kn/p > ln/q allora l'inclusione è completamente continua (questa proprietà a volte prende il nome di Teorema di Kondrakov). Le funzioni in W^{l,\infty} hanno tutte le derivate di ordine inferiore a l continue, e questa condizione implica che negli spazi di Sobolev varie derivate siano continue. In maniera informale queste inclusioni dicono che convertire una stima in Lp in una stima sulla limitatezza costa 1/p derivate per ogni dimensione.

Ci sono altre varianti del teorema di immersione per varietà non compatte, come Rn (Stein 1970)

Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev[modifica | modifica sorgente]

Sia u(x) una funzione continua e differenziabile a supporto compatto da \mathbb{R}^n a \mathbb{R}. Allora per 1\leq p <n esiste una costante C_n(p) tale che

\|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C_n(p) \|Du\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)}

dove

 p^*=\frac{pn}{n-p}>p

è il numero chiamato coniugato di Sobolev di p.

Costanti ottimali[modifica | modifica sorgente]

Nella disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev può essere interessante conoscere i valori delle costanti ottimali: cioè le costanti più piccole che verificano la disuguaglianza; e inoltre riuscire a trovare delle funzioni che verificano l'uguaglianza. Riportiamo allora due risultati riferendoci all'articolo del Talenti Best Costant in Sobolev Inequality indicato in bibliografia.

Sia 1<p<n, allora vale

\|u\|_{L^{p^*}}\leqslant C_n(p)\|Du\|_{L^p}

con

C_n(p)=\pi^{-\frac{1}{2}}n^{-\frac{1}{p}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma
\left(1+\frac{n}{2}\right)\Gamma(m)}{\Gamma\left(\frac{n}{p}\right)\Gamma\left(1+n-\frac{n}{p}\right)}\right)
^{\frac{1}{n}}.

Inoltre vale l'uguaglianza se u è della forma

u(x)=\left(a+b|x|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{1-\frac{n}{p}}

con opportuni a,b positivi.

Nel teorema compare la funzione gamma. Vediamo che le funzioni che realizzano l'uguaglianza sono a simmetria radiale in accordo con la disuguaglianza di Polya-Szego. Infatti se vogliamo cercare di diminuire la norma del gradiente di una funzione, possiamo considerare il suo riordinamento radiale. Il caso p=1 invece è un po' differente. In questo caso 1^*=\frac{n}{n-1}.

Vediamo che in generale possiamo trovare la costante ottimale per l'immersione di W^{1,1} in L^{\frac{n}{n-1}}.

Vale infatti il seguente teorema: sia u \in W^{1,1}, allora

\|u\|_{L^{1^*}}\leqslant n^{-1}\omega_n^{-1}\|D u\|_{L^1}

Inoltre non esistono funzioni che realizzano l'uguaglianza.

Osserviamo che la costante che compare nel teorema è proprio la stessa che compare nella disuguaglianza isoperimetrica.

Disuguaglianza di Nash[modifica | modifica sorgente]

Esiste una costante C>0, tale che per ogni u\in L^1(R^n)\cap H^1(R^n),

\|u\|_{L^2(R^n)}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^1(R^n)}^{2/n} \| Du\|_{L^2(R^n)}

Disuguaglianza di Morrey[modifica | modifica sorgente]

Sia n<p\leq \infty. Allora esiste una costante C, che dipende solo da p e n, tale che

\|u\|_{C^{0,\gamma}(R^n)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(R^n)}

per ogni u\in C^1 (R^n), dove

\gamma:=1-n/p

In altre parole: se u\in W^{1,p}(R^n) allora u è continua secondo Hölder (con esponente \gamma), dopo essere stata eventualmente ridefinita su un insieme di misura nulla.

Un risultato analogo vale in un dominio limitato U con bordo C1; in questo caso vale:

\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(U)}

dove la costante C dipende da n, p e U. Questa versione della disuguaglianza segue dalla precedente attraverso un'estensione (che conserva la norma) di u da W1,p(U) a W1,p(Rn).

Disuguaglianze generali di Sobolev[modifica | modifica sorgente]

Sia U un sottoinsieme limitato e aperto di R^n, con un contorno di classe C^1. Si ipotizzi che u\in W^{k,p}(U).

(i) Se
k<\frac{n}{p}

allora u\in L^q(U), dove

\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}

Si ha inoltre la stima

\|u\|_{L^q(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)},

dove la costante C dipende solo da k, p, n, e U.

(ii) Se
k>\frac{n}{p}

allora u appartiene allo spazio di Holder  C^{k-[n/p]-1,\gamma}(U), dove

\gamma=\left[\frac{n}{p}\right]+1-\frac{n}{p} se n/p non è un intero, o
\gamma è un qualsiasi numero positivo <1, se n/p è un intero

Si ha inoltre la stima

\|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{k,p}(U)},

dove la costante C dipende solo da k, p, n, \gamma, e U.

Caso p=n[modifica | modifica sorgente]

Se u\in W^{1,n}(R^n)\cap L^1_{loc}(R^n), allora u è una funzione con oscillazione media limitata e

\|u\|_{BMO}<C\|Du\|_{L^n(R^n)}, per qualche costante C che dipende solo da n.

Questa stima è un corollario della disuguaglianza di Poincaré.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • G.Talenti, Best Costant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp. 353–376.
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