Teorema di Parseval

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In analisi complessa il teorema di Parseval o identità di Rayleigh, il cui nome è dovuto a Marc-Antoine Parseval, è un teorema che stabilisce che la sommatoria del prodotto dei coefficienti di Fourier di due funzioni periodiche è uguale all'integrale del loro prodotto.

Nonostante il termine "teorema di Parseval" sia spesso utilizzato per descrivere l'unitarietà di ogni trasformata di Fourier, in particolar modo in fisica e in ingegneria, la forma più generale di questà proprietà è data dal teorema di Plancherel.[1]

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Siano A(x) e B(x) due funzioni Riemann integrabli, a valori complessi e definite su \R. Siano esse periodiche con periodo 2\pi e sia la rappresentazione per mezzo della serie di Fourier:

A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} \qquad B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}

Allora:

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx

Nel caso particolare in cui A(x)=B(x) il teorema stabilisce che, data una funzione in C^2 su \R con derivata prima e seconda assolutamente convergenti, allora l'area sottesa dal modulo al quadrato della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier:

\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx

Inoltre, spesso si considerano solo le serie di Fourier per funzioni a valori reali A e B, che corrispondono al caso speciale in cui a_0 è reale, a_{-n} = \overline{a_n}, b_0 è reale e b_{-n} =\overline{b_n}. In tal caso si ha:

a_0 b_0 + 2 \Re \sum_{n=1}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)dx

dove \Re denota la parte reale.

Dimostrazione nel caso A=B[modifica | modifica sorgente]

Sia s(t) una funzione periodica di periodo T sviluppabile in serie di Fourier, e sia:

s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}

la serie di Fourier della funzione, dove i coefficienti della serie sono allora dati da:

c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} s(t)\,e^{-2\pi i\frac{n}{T}t} dt

con f= n / T e \omega=2\pi f.

Allora si ha:

 \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} |s(t)|^2 dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} |\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}|^2dt = \
=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}(\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat c_n\,e^{-2\pi i\frac{n}{T}t}) dt =
=\frac{1}{T}\;\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}(\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\hat c_n)dt =
=\;\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2

Dimostrazione del teorema di Plancherel[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Plancherel.

Il teorema di Parseval è un caso particolare del teorema di Plancherel. Sia s(t):\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{R}^2, con:

\int_{-\infty}^\infty|s(t)|^2\mathrm{d}t<\infty

Allora:

\int_{-\infty}^\infty|s(t)|^2\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^\infty s(t)\hat s(t)\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^\infty S(f)\hat S(f)\mathrm{d}f = \int_{-\infty}^\infty\ |S(f)|^2\mathrm{d}f

dove s(t) indica la funzione, \hat s(t) la funzione coniugata e S(f)\; la trasformata di Fourier di s(t).

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

In teoria dei segnali il quadrato dello spettro di ampiezza fornisce lo spettro di energia del segnale, detto anche densità spettrale, a sua volta pari anche alla Trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del segnale x(t). L'integrale dello spettro di energia è l'energia del segnale x(t).

Si considerino due segnali di energia h(t) e g(t). Il teorema di Parseval stabilisce che:

\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}

Poiché h(t) è, per ipotesi, un segnale di energia, allora esiste la sua trasformata di Fourier H(\omega) e si può scrivere h(t) attraverso l'antitrasformata, ovvero:

h(t) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega}

quindi:

\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{ \left[ \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega} \right] g(t)^*dt}

Scambiando l'integrazione nel tempo e quella in frequenza si ottiene:

\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)^*e^{j\omega t}dt} \right] d\omega}

Poiché anche g(t) è per ipotesi un segnale di energia, si conclude che come volevasi dimostrare:

\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(f) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)e^{-j\omega t}dt} \right]^* d\omega}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}

Considerando in particolare h(t)=g(t) si ottiene l'energia del segnale:

\int_{-\infty}^\infty{ \left | h(t) \right |^2 dt}=\int_{-\infty}^\infty{ \left | H(\omega) \right |^2 d\omega}

In alternativa si può considerare che per ogni funzione trasformabile secondo Fourier si ha:

h(t) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega}

da cui ponendo ponendo t=0 si ottiene:

h(0) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)d\omega}

Dalla definizione di cross-correlazione tra due segnali di energia si ha:

R_{hg}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty{h(t)^*g(t+\tau)dt}

che trasformando secondo Fourier fornisce, per il teorema della correlazione:

S_{hg}(\omega) = H^*(\omega)G(\omega)

per cui si conclude che:

R_{hg}(0) = \int_{-\infty}^\infty{S_{hg}(\omega)d\omega}

ovvero:

\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}

Un teorema analogo vale per segnali di potenza, ed una dimostrazione alternativa è basata sul teorema della convoluzione.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Si determini la potenza del segnale s(t) di periodo T.

s(t)=3\sin\Bigl(\frac{2\pi t}{T}\Bigr)
P_s=\frac{E_s(T)}{T}=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2
S(f)=\frac{3}{2i}[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]

con f_0= 1 / T:

P_s=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2=\left|\frac{3}{2i}\right|^2+\left|-\frac{3}{2i}\right|^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{2}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • (EN) Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • (EN) Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • (EN) William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410–411.
  • (EN) David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
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