Insieme nullo (teoria della misura)

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Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi m-nulli per la data misura m.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio misurabile, sia m una misura su X, e sia N un insieme misurabile in X. Se m è una misura positiva, allora N è nullo se e solo se la sua misura m(N) è zero. Se m non è una misura positiva, allora N è m-nullo se N è |m|-nullo, dove |m| è la variazione totale di m; questo è più forte che richiedere m(N) = 0.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo Rn è di solito sottinteso che la misura usata è quella di Lebesgue.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi m-nulli di X formano un sigma-ideale su X. Allo stesso modo gli insiemi m-nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.

Nella misura di Lebesgue[modifica | modifica sorgente]

Per la misura di Lebesgue su Rn, tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme Q dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in R. L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in R.

Più in generale, un sottoinsieme N di R è nullo se e solo se:

Dato un qualsiasi numero positivo ε, esiste una successione {In} di intervalli tali che N è contenuto nell'unione degli In e la lunghezza totale degli In è minore di ε.

Questa condizione può essere generalizzata a Rn, usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio Lp e Spazio di misura.
  • Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'integrale di Lebesgue: se le funzioni f e g sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora f è integrabile se e solo se g lo è, e gli integrali sono uguali.
  • Uno spazio di misura in cui tutti tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto completo.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica