Disuguaglianza di Poincaré

In analisi funzionale, una branca della matematica, con il nome di disuguaglianza di Poincaré si intendono due risultati simili riguardanti gli spazi di Sobolev che permettono di controllare la norma di una funzione con quella della sua derivata debole. È un risultato di fondamentale importanza nel moderno calcolo delle variazioni.

Disuguaglianza di Poincaré classica

Sia $1\leq p < \infty$ e $\Omega$ un insieme aperto limitato di $\R^n$. Allora esiste una costante $C$ dipendente solo da $\Omega$ e $p$ tale che

$\|u\|_{L^p(\Omega)} \leq C \|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$

per ogni $u \in W^{1,p}_0$, la chiusura di $C^\infty_c(\Omega)$ in $W^{1,p}(\Omega)$. Per gradiente si intende il gradiente debole, essendo in uno spazio di Sobolev.

La conseguenza più immediata, e che rappresenta la grandezza del risultato, è che in questo sottospazio (che è il dominio più naturale per studiare equazioni alle derivate parziali con condizioni al bordo omogenee) la norma del gradiente di $u$ è una quantità equivalente, ai fini della topologia indotta e quindi delle convergenze della usuale norma $\|u\|_{W^{1,p}}$, poiché si ha

$\|\nabla u\|_p^p \leq \|u\|_{W^{1,p}}^p=\|u\|_p^p+\|\nabla u\|_p^p\leq (1+C^p)\|\nabla u\|_p^p$

e che quindi nello spazio di Hilbert $H^1_0(\Omega)$ un prodotto scalare equivalente all'usuale è

$(u,v)_{H^1_0(\Omega)}=\int_\Omega \nabla u \nabla v\, \text{d}^nx$

La costante ottimale

Determinare la costante $C$ ottimale che si può utilizzare nella disuguaglianza è un compito arduo e dipendente fortemente da $p$ e dalla geometria del dominio. Si dimostra comunque che tale valore è uguale a $\frac{1}{\sqrt \lambda_1}$, con $\lambda_1$ il primo autovalore dell'operatore laplaciano, cioè il più piccolo numero reale positivo tale che

$\begin{matrix}\Delta u=\lambda u && \mbox{ in } \Omega \\ u=0 && \mbox{ su } \part \Omega\end{matrix}$

Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger

Un risultato correlato è la disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger: sia $1\leq p \leq \infty$ e $\Omega$ un aperto di $\R^n$ con bordo sufficientemente regolare (ad esempio lipschitziano). Allora esiste una costante $C$ tale che

$\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},$

per ogni $u \in W^{1,p}(\Omega)$, dove

$u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y$

è la media integrale di $u$.

Da questo risultato si deduce, grazie alla disuguaglianza di Sobolev, che se $p<n$

$\|u-u_{\Omega}\|_{L^{p^*}(\Omega)} \leq C \|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$

per ogni $u \in W^{1,p}(\Omega)$, dove $p^* = {np \over n-p}$.

Bibliografia

• Haïm Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, ISBN 978-88-207-1501-4

Voci correlate

• Spazio di Sobolev
• Derivata debole
• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Autovettore e autovalore
• Disuguaglianza di Friedrichs
• Henri Poincaré
• Wilhelm Wirtinger
• Teorema di Brothers-Ziemer

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