Operatore compatto

In analisi funzionale, un operatore compatto è un operatore lineare tra spazi di Banach tale che l'immagine di ogni sottoinsieme limitato del dominio sia un insieme relativamente compatto del codominio, cioè che la sua chiusura sia compatta.

Un operatore compatto è un operatore completamente continuo se mappa insiemi limitati del dominio in sottoinsiemi compatti del codominio. Gli operatori completamente continui rivestono particolare importanza tra gli operatori compatti, trattandosi di quelli additivi.

Gli operatori compatti sono limitati, e quindi continui. Ogni operatore limitato che ha rango finito è un operatore compatto, e quindi la classe degli operatori compatti è la naturale generalizzazione della classe degli operatori a rango finito in uno spazio infinito dimensionale.

Se si definisce un operatore compatto da uno spazio di Hilbert in sé, esso è il limite di una successione di operatori a rango finito, e quindi la classe degli operatori compatti può essere definita in modo alternativo come la chiusura della classe degli operatori a rango finito.

Gli operatori compatti da uno spazio di Banach in sè, formano un ideale bilatero nell'algebra di tutti gli operatori limitati di uno spazio. Inoltre, gli operatori compatti su di uno spazio di Hilbert fomano un ideale minimale, per cui l'algebra quoziente, nota come l'algebra di Calkin, è un'algebra semplice. Esempi di operatori compatti sono gli operatori di Hilbert-schmidt, o più in generale operatori nella classe di Schmidt.

Definizione

Siano $X$ e $Y$ spazi di Banach e sia $T:X \to Y$ un operatore limitato. L'operatore $T$ è detto compatto se mappa insiemi limitati di $X$ in insiemi precompatti di $Y$, ovvero insiemi la cui chiusura è compatta.

In modo equivalente, $T$ è compatto se vale una delle seguenti proprietà:

• Per ogni successione limitata $\{x_n\}_{n\in \mathbb N} \subset X$ la successione $\{Tx_n\} \$ possiede una sottosuccessione convergente in $Y$.
• Detta $B_X$ la sfera unitaria in $X$, $T(B_X)$ è relativamente compatto in $Y$.
• L'immagine di ogni sottoinsieme limitato sotto $T$ è uno spazio totalmente limitato in $Y$.
• Esiste un intorno $U \subset X$ di 0 ed esiste un insieme compatto $V \subset Y$ tale che $T(U) \subset V$.
• Per ogni successione $(x_ n)_{n\in \mathbb N}$ dalla sfera unitaria $B_X$, la successione $(Tx_n)_{n\in\mathbb N}$ contiene una sottosuccessione di Cauchy.
• Detto $L(X,Y)$ lo spazio degli operatori lineari e continui da $X$ a $Y$, $T \in L(X,Y)$ mappa successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti.

Forma canonica per operatori compatti

Sia $T:\mathcal{H} \to \mathcal{H}$ un operatore compatto su uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$. Allora esistono due insiemi di vettori ortonormali non necessariamente completi $\{ \phi_n \}$ e $\{ \psi_n \}$, ed esiste un insieme di numeri positivi $\{ \lambda_n \}$ che si annullano per $n \to N$, tali che:

$T = \sum_{n=1}^N \lambda_n \langle \phi_n, \cdot \rangle \psi_n \qquad 1 \le N \le \infty$

Una tale scrittura è detta forma canonica per operatori compatti, ed i numeri $\{ \lambda_n \}$ sono detti valori singolari di $T$. La sommatoria così definita può essere finita o infinita, e converge in norma. I valori singolari si possono accumulare solamente sullo zero, e sono gli autovalori di $|T|$.

Proprietà

Gli operatori compatti godono delle seguenti proprietà:

• Sia $\{T_n\} \$ una successione di operatori compatti convergente a $T$, allora $T$ è compatto.
• Un operatore $T$ è compatto se e solo se lo è anche il suo aggiunto.
• Sia $S: X \to Y$ un operatore limitato e sia $Y$ uno spazio di Banach. Se $T$ oppure $S$ è compatto, lo è anche l'operatore $ST$.
• Sia $\mathcal{H}$ uno spazio di Hilbert separabile. Ogni operatore compatto su $\mathcal{H}$ è il limite in norma di una successione di operatori con rango finito.

Teorema analitico di Fredholm

Per approfondire, vedi Teoria di Fredholm e Teoremi di Fredholm.

Uno dei principali risultati in analisi funzionale che riguarda gli operatori compatti è il teorema analitico di Fredholm, ed in particolare il suo corollario detto alternativa di Fredholm.

Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $\C$, sia $f$ una funzione analitica definita su $D$ a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia $f$ compatta per ogni $z \in D$. Il teorema analitico di Fredholm afferma che o $(I - f(z))^{-1}$ non esiste per alcun $z \in D$, oppure $(I - f(z))^{-1}$ esiste per ogni $z$ in D\S, dove $S$ è un sottoinsieme discreto contenuto in $D$, ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore $(I - f(z))^{-1}$ è mereomorfo di $D$ e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se $z \in S$ allora $f(z)\psi= \psi$ ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.

L'alternativa di Fredholm è un corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se $A$ è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o $(I - f(z))^{-1}$ esiste oppure $A\psi= \psi$ ha una soluzione.

Teorema di Hilbert-Schmidt

Per approfondire, vedi Teorema di Hilbert-Schmidt.

Sia $A$ un operatore compatto e autoaggiunto definito su uno spazio di Hilbert $H$. Allora esiste una base ortonormale completa $\{ \phi_n \}$ di $H$ tale che:

$A \phi_n = \lambda_n \phi_n \$

ed inoltre:

$\lim_{n \to + \infty}\lambda_n = 0$

Teorema di Riesz-Schauder

Sia $A$ un operatore compatto definito su uno spazio di Hilbert $H$. Allora lo spettro $\sigma(A)$ è un insieme discreto privo di punti limite, ad eccezione eventualmente di $\lambda =0$. Inoltre, ogni $\lambda \in \sigma(A)$ è un autovalore non nullo che ha molteplicità finita.

Esempi

Per una funzione fissata $g \in C[0,1]$, si può definire un operatore lineare $T$ con

$(Tf)(x) = \int_0^x f(t)g(t)dt$

Questo operatore è compatto, come mostra il teorema di Ascoli-Arzelà.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Operatore
• Operatore limitato
• Operatore continuo

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