Spazio di Sobolev

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In matematica, uno spazio di Sobolev è uno spazio vettoriale di funzioni munito di una norma che è combinazione delle norme Lp della funzione stessa e delle sue derivate (deboli) fino ad un certo ordine; rispetto a tale norma lo spazio è completo[1], e quindi di Banach. Gli spazi di Sobolev devono il proprio nome al matematico russo Sergei Lvovich Sobolev. La loro importanza è dovuta al fatto che le soluzioni delle equazioni alle derivate parziali vengono normalmente cercate in spazi di Sobolev piuttosto che negli spazi di funzioni continue dotate di derivate intese in senso classico.

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

Ci sono molti criteri per definire il carattere liscio, la liscezza (smoothness), delle funzioni matematiche. La proprietà primaria può essere la continuità; una nozione molto più forte di liscezza è quella della differenziabilità (le funzioni se sono differenziabili sono a maggior ragione continue) ed una nozione ancor più restrittiva di regolarità si ottiene chiedendo la continuità della derivata (ovvero chiedendo l'appartenenza allo spazio C^1).

Le funzioni differenziabili sono importanti in molti campi, ed in particolare nell'ambito delle equazioni differenziali. Nel corso del XX secolo, tuttavia, si è trovato che lo spazio corretto all'interno del quale cercare le soluzioni di molte equazioni differenziali non è C^1 o qualche C^k, ma un opportuno spazio di Sobolev.

Spazi di Sobolev sul cerchio unitario[modifica | modifica sorgente]

Il modo più facile per introdurre gli spazi di Sobolev riguarda il caso unidimensionale costituito dal cerchio unitario. In questo caso lo spazio di Sobolev W^{k,p} viene definito, per un dato p ≥ 1, come il sottoinsieme di Lp formato dalle funzioni le cui derivate deboli fino a un certo ordine k hanno norma Lp:

 W^{k,p}=\{f \in L^{p}|D^{\alpha}f \in L^{p} \; \forall \alpha \leq k\}.

Con questa definizione lo spazio di Sobolev ammette in modo naturale una norma:

\|f\|_{k,p}=\Big(\sum_{i=0}^k \|f^{(i)}\|_p^p\Big)^{1/p} = \Big(\sum_{i=0}^k \int |f^{(i)}(t)|^p\,dt \Big)^{1/p}.

W^{k,p} munito di questa norma \|\cdot\|_{k,p} è uno spazio di Banach. Si può dimostrare che la più semplice norma

\|f^{(k)}\|_p + \|f\|_p

è equivalente a quella precedentemente definita.

Il caso p = 2[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio di Sobolev con p = 2 ha un ruolo importante per i collegamenti con le serie di Fourier e perché è uno spazio di Hilbert. Per questo caso particolare viene adottata una notazione specifica:

\,H^k = W^{k,2}.[2]

Lo spazio H^k può essere definito in modo naturale a partire da serie di Fourier i cui coefficienti decadono con sufficiente rapidità, cioè:

H^k({\mathbb T}) = \Big\{ f\in L^2({\mathbb T}):\sum_{n=-\infty}^\infty (1+n^2 + \dotsb + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2 < \infty\Big\}

dove \widehat{f} denota la trasformata di Fourier della f. Anche in questo caso è possibile utilizzare una norma equivalente:

\|f\|^2=\sum_{n=-\infty}^\infty (1 + n^2)^k |\widehat{f}(n)|^2.

Entrambe le rappresentazioni seguono facilmente dall'identità di Parseval e dalla nota proprietà per cui derivare n volte significa moltiplicare il coefficiente di Fourier per \mathrm{i}n.

Inoltre lo spazio Hk ammette un prodotto interno, come accade allo spazio H0 = L2. In effetti il prodotto interno in Hk viene definito in termini del prodotto scalare di L2:

\langle u,v\rangle_{H^k}=\sum_{i=0}^k\langle D^i u,D^i v\rangle_{L_2}.

Con questo prodotto scalare Hk diventa uno spazio di Hilbert.

Altri esempi[modifica | modifica sorgente]

Alcuni spazi di Sobolev possono essere interpretati in maniera più semplice: W^{1,1}(0,1) è lo spazio delle funzioni assolutamente continue su (0,1), mentre W1,∞(I) è lo spazio delle funzioni lipschitziane su I, per ogni intervallo I. Tutti gli spazi Wk,∞ sono algebre normate, in quanto il prodotto di due funzioni in questi spazi di Sobolev appartiene ancora allo stesso spazio di Sobolev; questa proprietà non vale per p < ∞. (ad esempio, funzioni che in un intorno dell'origine si comportano come |x|−1/3 appartengono a L2, ma il loro prodotto non appartiene a L2).

Spazi di Sobolev con k non intero[modifica | modifica sorgente]

Per chiarezza, quando l'esponente prima chiamato k non sarà intero, verrà indicato con s, ovvero W^{s,p} o H^s.

Il caso p = 2[modifica | modifica sorgente]

Il caso p = 2 è il più semplice, dal momento che la descrizione di Fourier è facile da generalizzare. Si definisce la norma


||f||^2_{2,s} := \sum (1+n^2)^s|\widehat{f}(n)|^2

e lo spazio di Sobolev H^s come lo spazio di tutte le funzioni con questa norma finita.

Differenziazione di ordine frazionario[modifica | modifica sorgente]

Un approccio simile si può utilizzare nel caso in cui p sia diverso da 2. In questo caso non vale più il teorema di Parseval, ma la differenziazione continua a corrispondere alla moltiplicazione nel dominio di Fourier e può quindi essere generalizzata per ordini non interi. Per questo motivo si definisce un operatore di ordine frazionario s come


F^{s}(f) := \sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s \widehat{f}(n)e^{int} ;

in altre parole, prendendo la trasformata di Fourier e moltiplicando per (in)^s e poi prendendo l'inversa della trasformata di Fourier (operatori definiti come Fourier-moltiplicazione-inverso di Fourier sono detti moltiplicatori) e costituiscono un argomento di ricerca a se stante. Questo permette di definire la norma di Sobolev di s, p come


\|f\|_{s,p} := \|f\|_{p}+\|F^s(f)\|_p

e, come nei casi precedenti, lo spazio di Sobolev è lo spazio delle funzioni che ammettono questa norma finita.

Interpolazione complessa[modifica | modifica sorgente]

Un altro modo di ottenere gli "spazi di Sobolev frazionari" è quella dell'interpolazione complessa. Per ogni 0 ≤ t ≤ 1, X e Y spazi di Banach inclusi con continuità in uno spazio di Banach più ampio, si può definire uno spazio di Banach "intermedio" e si indica con [X,Y]_t. Gli spazi X e Y sono detti coppia di interpolazione. Riportiamo nel seguito alcuni teoremi utili relativi all'interpolazione complessa:

Teorema (re-interpolazione):[[X,Y]_a  , [X,Y]_b]_c=[X,Y]_{cb+(1-c)a}
Teorema (interpolazione di operatori): se {X,Y} e {A,B} sono una coppia di interpolazione e se T è una mappa non lineare definita da X+Y a A+B tale che T sia continua da X ad A e da Y a B allora T è continua da [X,Y]_t a [A,B]_t e vale la seguente disuguaglianza:
||T||_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^t.

Si veda anche: Teorema di Riesz-Thorin.

Ritornando agli spazi di Sobolev, vogliamo ottenere W^{s,p} con s non intero mediante l'interpolazione attraverso gli spazi W^{k,p}. La prima cosa da notare è che questo porta a notevoli risultati, infatti si ha il seguente:

Teorema:\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p}

Quindi l'interpolazione complessa è una tecnica efficace per ottenere spazi continui W^{s,p} compresi fra W^{k,p}. Inoltre genera gli stessi spazi della differenziazione di ordine frazionario.

Dimensioni multiple[modifica | modifica sorgente]

Adesso ci focalizziamo sugli spazi di Sobolev in Rn e sui sottoinsiemi di Rn. Il passaggio dalla circonferenza alla linea coinvolgeva soltanto cambiamenti tecnici nelle formule di Fourier, principalmente un cambiamento delle serie di Fourier e delle trasformate. Il passaggio a dimensioni multiple presenta molte più difficoltà, a partire dalla definizione. La richiesta che f(k−1) sia l'integrale di f(k) non si può generalizzare e quindi la soluzione più semplice è quella di considerare derivate nel senso della teoria delle distribuzioni.

Diamo ora la definizione formale. Sia D un sottoinsieme aperto di Rn, sia k un numero naturale e sia 1 ≤ p ≤ +∞. Lo spazio di Sobolev Wk,p(D) è definito come l'insieme di tutte le funzioni f definite su D tali che per ogni multiindice α con |α| ≤ k, la derivata parziale mista

f^{(\alpha)} = \frac{\partial^{| \alpha |} f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}

è integrabile sia localmente che in Lp(D), cioè

\|f^{(\alpha)}\|_{L^{p}} < \infty.

Ci sono diverse scelte per la norma di Wk,p(D). Le due presentate nel seguito sono fra le più comuni e sono equivalenti nel senso di equivalenza delle norme:

\| f \|_{W^{k, p}} = \begin{cases} \left( \sum_{| \alpha | \leq k} \| f^{(\alpha)} \|_{L^{p}}^{p} \right)^{1/p}, & 1 \leq p < + \infty; \\ \sum_{| \alpha | \leq k} \| f^{(\alpha)} \|_{L^{\infty}}, & p = + \infty; \end{cases}

e

\| f \|'_{W^{k, p}} = \begin{cases} \sum_{| \alpha | \leq k} \| f^{(\alpha)} \|_{L^{p}}, & 1 \leq p < + \infty; \\ \sum_{| \alpha | \leq k} \| f^{(\alpha)} \|_{L^{\infty}}, & p = + \infty. \end{cases}


Wk,p(D), dotato di ciascuna delle due, è uno spazio di Banach. Nel caso in cui p sia finito, Wk,p(D) è anche uno spazio separabile. Come notato precedentemente, è convenzione indicare Wk,2(D) con Hk(D).

Gli spazi di Sobolev di ordine frazionario Hs(Rn), s ≥ 0, possono essere definiti con la trasformata di Fourier come prima:

H^{s} (\mathbb{R}^{n}) = \left\{ f \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} \left| \| f \|_{H^{s}}^{2} = \int_{\mathbb{R}^{n}} \big( 1 + | \xi |^{2} \big)^s \big| \hat{f} (\xi) \big|^{2} \, \mathrm{d} \xi < + \infty \right. \right\}

Tuttavia, se D è un dominio non periodico come Rn o il toro Tn, questa definizione non è sufficiente, dato che la trasformata di Fourier di una funzione definita in un dominio aperiodico è difficile da definire. Per fortuna esiste una caratterizzazione intrinseca degli spazi di Sobolev di ordine frazionario, che è essenzialmente l'analogo in L2 della continuità di Holder. Un prodotto interno equivalente per Hs(D) è dato da

(f, g)_{H^{s} (D)} = (f, g)_{H^{k} (D)} + \sum_{| \alpha | = k} \int_{D} \int_{D} \frac{\big( f^{(\alpha)} (x) - f^{(\alpha)} (y) \big) \big( g^{(\alpha)} (x) - g^{(\alpha)} (y) \big)}{| x - y |^{n + 2 t}} \, \mathrm{d} x \mathrm{d} y,

dove s = k + t, k è un intero e 0 < t < 1. Si noti che la dimensione del dominio, n, appare in questa formula per il prodotto interno.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

In dimensioni più elevate, non vale più il fatto che, ad esempio, W1,1 contiene solo funzioni continue. Infatti, si consideri 1/|x| che appartiene a W1,1(B3) dove B3 è la palla di raggio unitario in tre dimensioni. Per k sufficientemente grande, Wk,p(D) conterrà solo funzioni continue, ma per quale k questo sia già vero dipende sia da p che dalla dimensione. Per esempio, come si può facilmente verificare usando le coordinate sferiche polari, la funzione f : Bn → R ∪ {+∞} definita sulla palla n-dimensionale e data da

f(x) = \frac1{| x |^{\alpha}}

appartiene a Wk,p(Bn) se e solo se

\alpha < \frac{n}{p} - k.

Immersione di Sobolev[modifica | modifica sorgente]

Sia W^{k,p} lo spazio di Sobolev di una varietà compatta di Riemann di dimensione n. k può essere un numero reale qualsiasi, e 1≤p≤∞. (Per p=∞ lo spazio di Sobolev W^{k,\infty} è definito come lo spazio di Holder Cn dove k=n+α and 0<α≤1.) Il teorema di immersione di Sobolev afferma che se kl e kn/pln/q allora

W^{k,p}\subseteq W^{l,q}

e l'inclusione è continua. Inoltre se k> l e kn/p > ln/q allora l'inclusione è completamente continua(questa proprietà è spesso chiamata Teorema di Kondrakov). Funzioni in W^{l,\infty} hanno tutte le derivate di ordine minore di l continue, quindi questo determina delle condizioni particolari negli spazi di Sobolev in cui le derivate sono continue. In maniera non formale si può dire che con queste immersioni si può convertire una stima in Lp con una sulla limitatezza e ciò "costa" 1/p derivata per ogni dimensione.

Tracce[modifica | modifica sorgente]

Sia s > ½. Se X è un insieme aperto tale che il suo contorno G sia "sufficientemente regolare", allora si può definire la funzione traccia (cioè la restrizione) P come

Pu=u|_G,

cioè u ristretta a G. Una semplice condizione di regolarità è essere uniformemente C^m, ms. (Non c'è nessun collegamento con la traccia di una matrice.)

La funzione traccia P così definita ha dominio H^s(X), e codominio H^{s-1/2}(G). Per essere più precisi, P è prima definita per funzioni infinitamente differenziabili e poi viene estesa con continuità a H^s(X). Si noti che si perde metà derivata in questo passaggio.

Identificare il codominio della funzione traccia per W^{s,p} è molto più difficile e richiede le tecniche dell'interpolazione reale. Gli spazi che ne derivano sono gli spazi di Besov. Viene fuori che nel caso degli spazi W^{s,p} , non si perde mezza derivata, ma 1/p.

Operatori di estensione[modifica | modifica sorgente]

Se X è un dominio aperto il cui contorno soddisfa certe condizioni (cioè se il contorno è una varietà e soddisfa la "condizione del cono") allora esiste un operatore A che mappa funzioni di X a funzioni di Rn tali che:

  1. Au(x) = u(x) per quasi ogni x in X e
  2. A è continuo da W^{k,p}(X) a W^{k,p}({\mathbb R}^n), per ogni 1 ≤ p ≤ ∞ e intero k[3].

Allora chiameremo tale operatore A un operatore di estensione per X.

Gli operatori di estensione sono il modo più naturale per definire H^s(X) per un s non intero (non si può lavorare direttamente su X poiché considerare la trasformata di Fourier è un'operazione globale). Si definisce H^s(X) con la condizione che u appartiene a H^s(X) se e solo se Au appartiene a H^s(\mathbb R^n). In maniera equivalente, anche l'interpolazione complessa porta agli stessi spazi H^s(X) se X ammette un operatore di estensione. Se X non ammette un operatore di estensione, l'unico modo per ottenere gli spazi H^s(X) è tramite l'interpolazione complessa.

Estensione allo zero[modifica | modifica sorgente]

Si definisce H^s_0(X) come la chiusura in H^s(X) dello spazio C^\infty_c(X) delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto. Con la definizione di traccia data sopra, si ha il seguente:

Teorema: Sia X be uniformemente Cm regolare, m ≥ s e sia P la mappa lineare che manda u in H^s(X) a

\left.\left(u,\frac{du}{dn},...,\frac{d^k u}{dn^k}\right)\right|_G

dove d/dn è la derivata normale di G, e k è il maggiore intero minore di s. Allora H^s_0 è esattamente il kernel di P.

Se u\in H^s_0(X) possiamo definire la sua estensione allo zero \tilde u \in L^2({\mathbb R}^n) in maniera naturale, cioè

\tilde u(x)=u(x) \; \textrm{ se } \; x \in X, 0 \; \textrm{ altrimenti.}

Teorema: Sia s>½. La mappa che manda u in \tilde u è continua se e solo se s non è del tipo n+½ con n intero.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 192
  2. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 210
  3. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 250

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • R.A. Adams, J.J.F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
  • L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
  • Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990. ISBN 8820715015.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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