Riordinamento radiale

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Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma W^{1,p}

In analisi funzionale, una branca della matematica, data una funzione generica dello spazio L^p può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale. Per questo si può ricorrere al riordinamento monotono.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} Sia \omega_n il volume della palla unitaria di \mathbb{R}^n e M:= supess_{x \in \mathbb{R}^n} |u(x)| si definisce la misura dei sopralivelli per t\in[0,M)

\mu(t)=\mathcal{H}^n\left( \{x \in \mathbb{R}^n|u(x) >t\}
 \right)

dove \mathcal{H}^n è la misura di Hausdorff n-dimensionale. Si indica allora con u^*:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} il riordinamento radiale definito da

u^*(x)=\sup\,\{t\in[0,M)\,\,t.c.\,\,\mu(t)> \omega_n|x|^n\}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Proprietà evidente dalla definizione. Infatti se |x_1|=|x_2| allora u^*(x_1)=u^*(x_2)

Proprietà evidente dalla definizione. Infatti se |x_1|<|x_2| allora

\sup\,\{t\in[0,M)\,:\,\mu(t)> \omega_n|x_1|^n\}\geq\sup\,\{t\in[0,M)\,:\,\mu(t)> \omega_n|x_2|^n\}

Teoremi[modifica | modifica sorgente]

Stima di decrescita[modifica | modifica sorgente]

Se u è lipschitziana con costante di Lipschitz L e t>h>0, allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

\mu(t-h)-\mu(t)\geq\frac{h}{L}\omega_n^{\frac{1}{n}}n\mu(t)^{\frac{n-1}{n}}.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Osserviamo che \mu(t-h)-\mu(t) rappresenta la misura dell'insieme E_{t-h,t}=\{x\,\,t.c. \,\, t-h<u(x)\leqslant t\}, cioè

\mu(t-h)-\mu(t)=\mathcal{H}^{n}(E_{t-h,t}).:

La u è Lipschitziana, quindi possiamo usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni u e \frac{1}{|\nabla u|} e otteniamo:


\begin{align}
\frac{1}{h}\mathcal{H}^{n}(E_{t-h,t})&=\frac{1}{h}\int_{E_{t-h,t}}\frac{1}{|\nabla u(x)|}|\nabla u(x)| dx \\ 
&=\frac{1}{h} \int_{t-h}^t
 \int_{u^{-1}(s)}\frac{1}{|\nabla u(x)|}d\mathcal{H}^{n-1}ds\\
&\geqslant
 \frac{1}{h}\int_{t-h}^t
 \int_{u^{-1}(t)}\frac{1}{L}d\mathcal{H}^{n-1}\\ 
& = \frac{1}{Lh}\int_{t-h}^t\mathcal{H}^{n-1}\big(u^{-1}(s)\big)ds\\
&\geqslant\frac{1}{L}\inf_{s\in (t-h,t)} \mathcal{H}^{n-1}\big(u^{-1}(s)\big)
\end{align}:

Ricordiamo che \mu(s)=|E_s| e che il bordo di E_s è contenuto nell'insieme \{x\,\,t.c. \,\,u(x)=s\} per cui se usiamo la disuguaglianza isoperimetrica abbiamo che:

\begin{align} (\mu(s))^{1-\frac{1}{n}}&\leqslant n^{-1}\omega_n^{-\frac{1}{n}}\mathcal{H}^{n-1}(\partial E_s)\\
&\leqslant n^{-1}\omega_n^{-\frac{1}{n}}\mathcal{H}^{n-1}(\{x\,\,t.c.\,\, u(x)=s\}).\end{align}:

La \mu è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore otteniamo

\big(\mu(t)\big)^{1-\frac{1}{n}}\leqslant n^{-1}\omega_n^{-\frac{1}{n}}\inf_{s\in(t-h,t)}\mathcal{H}^{n-1}(\{x\,\,t.c.\,\, u(x)=s\}).:

Mettendo insieme le relazioni trovate otteniamo che:

\mu(t-h)-\mu(t)\geqslant\frac{h}{L}\omega^{\frac{1}{n}}n\mu(t)^{\frac{n-1}{n}}:

e abbiamo trovato la stima che volevamo.

Lipschitzianità del riordinamento[modifica | modifica sorgente]

Sia u:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^+ tale che \lim_{|x|\rightarrow +\infty} u(x)=0. Se u è Lipschitziana con costante di Lipschitz L allora anche la u^*(x) è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Norma L^p del riordinamento[modifica | modifica sorgente]

Se u è una funzione appartiene allo spazio L^p, anche il suo riordinamento appertiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi

\|u^*\|_{L^p}=\|u\|_{L^p}:

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Basta esprimere il calcolo della norma di u in funzione della misura dei sopralivelli.


\begin{align}\int_{\mathbb{R}^n} u(x)^p dx &= \int_{\mathbb{R}^n}\left( \int_{0}^{+\infty} \chi_{(0,u(x))}(t) pt^{p-1}dt\right)dx\\
&=\int_{0}^{+\infty}p t^{p-1}\left(\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{(t,+\infty)}(u(x))dx\right)dt\\&=\int_{0}^{+\infty}pt^{p-1}\mu(t) dt  \end{align}

Lo stesso calcolo vale per la norma di u*.

Norma W^{1,p} del riordinamento[modifica | modifica sorgente]

Vale la disuguaglianza di Polya-Szego, per cui se una funzione appartiene allo spazio W^{1,p} anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • G.Talenti, Best Costant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
  • (EN) Srinivasan Kesavan, Symmetrization & applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, ISBN 981-256-733-X.
  • (EN) Bernhard Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Berlino, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-15693-3.
  • (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Parigi, Hermann, 1984, ISBN 2-7056-5963-3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica