Riordinamento radiale

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Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma W^{1,p}

In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio L^p, può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme misurabile A, il suo riordinamento radiale A^* in \R^n è dato da:

 A^* = \{x \in \R^n :\,\omega_n\cdot|x|^n < |A| \}

dove \omega_n è il volume della sfera unitaria e |A| il volume di A. Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di  A .

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa f i cui insiemi di livello hanno misura finita è:

 f^*(x) = \int_0^\infty \mathbb{I}_{\{y: f(y)>t\}^*}(x) \, dt

Ovvero, il valore di f^*(x) fornisce il valore t tale per cui il raggio del riordinamento radiale di \{y: f(y)>t\} è x. Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:

 g(x) = \int_0^\infty \mathbb{I}_{\{y: g(y)>t\}}(x) \, dt

è valida per ogni funzione non-negativa g; quindi la definizione data è l'unica che implica  \mathbb{I}_{A}^* = \mathbb{I}_{A^*}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se |x_1|<|x_2| allora:
\sup\,\{t\in[0,M)\,:\,\mu(t)> \omega_n|x_1|^n\}\geq\sup\,\{t\in[0,M)\,:\,\mu(t)> \omega_n|x_2|^n\}

Teoremi[modifica | modifica wikitesto]

Stima di decrescita[modifica | modifica wikitesto]

Se u è lipschitziana con costante di Lipschitz L e t>h>0, allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

\mu(t-h)-\mu(t)\geq\frac{h}{L}\omega_n^{\frac{1}{n}}n\mu(t)^{\frac{n-1}{n}}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Il numero \mu(t-h)-\mu(t) rappresenta la misura dell'insieme E_{t-h,t}=\{x : t-h<u(x)\leqslant t\}, cioè:

\mu(t-h)-\mu(t)=\mathcal{H}^{n}(E_{t-h,t})

La u è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni u e \frac{1}{|\nabla u|}, e si ottiene:


\begin{align}
\frac{1}{h}\mathcal{H}^{n}(E_{t-h,t})&=\frac{1}{h}\int_{E_{t-h,t}}\frac{1}{|\nabla u(x)|}|\nabla u(x)| dx \\ 
&=\frac{1}{h} \int_{t-h}^t
 \int_{u^{-1}(s)}\frac{1}{|\nabla u(x)|}d\mathcal{H}^{n-1}ds\\
&\geqslant
 \frac{1}{h}\int_{t-h}^t
 \int_{u^{-1}(t)}\frac{1}{L}d\mathcal{H}^{n-1}\\ 
& = \frac{1}{Lh}\int_{t-h}^t\mathcal{H}^{n-1}\big(u^{-1}(s)\big)ds\\
&\geqslant\frac{1}{L}\inf_{s\in (t-h,t)} \mathcal{H}^{n-1}\big(u^{-1}(s)\big)
\end{align}

Ricordando che \mu(s)=|E_s| e che il bordo di E_s è contenuto nell'insieme \{x : u(x)=s\}, per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:

\begin{align} (\mu(s))^{1-\frac{1}{n}}&\leqslant n^{-1}\omega_n^{-\frac{1}{n}}\mathcal{H}^{n-1}(\partial E_s)\\
&\leqslant n^{-1}\omega_n^{-\frac{1}{n}}\mathcal{H}^{n-1}(\{x : u(x)=s\}).\end{align}:

La funzione \mu è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:

\big(\mu(t)\big)^{1-\frac{1}{n}}\leqslant n^{-1}\omega_n^{-\frac{1}{n}}\inf_{s\in(t-h,t)}\mathcal{H}^{n-1}(\{x : u(x)=s\}).:

Mettendo insieme le relazioni trovate:

\mu(t-h)-\mu(t)\geqslant\frac{h}{L}\omega^{\frac{1}{n}}n\mu(t)^{\frac{n-1}{n}}

e si trova così la stima cercata.

Lipschitzianità del riordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Sia u:\R^n \to \R^+ tale che \lim_{|x|\to +\infty} u(x)=0. Se u è Lipschitziana con costante di Lipschitz L allora anche la u^*(x) è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Norma L^p del riordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Se u è una funzione appartiene allo spazio L^p, anche il suo riordinamento appertiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:

\|u^*\|_{L^p}=\|u\|_{L^p}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Esprimendo il calcolo della norma di u in funzione della misura dei sopralivelli:


\begin{align}\int_{\mathbb{R}^n} u(x)^p dx &= \int_{\mathbb{R}^n}\left( \int_{0}^{+\infty} \chi_{(0,u(x))}(t) pt^{p-1}dt\right)dx\\
&=\int_{0}^{+\infty}p t^{p-1}\left(\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{(t,+\infty)}(u(x))dx\right)dt\\&=\int_{0}^{+\infty}pt^{p-1}\mu(t) dt  \end{align}

Lo stesso calcolo vale per la norma di u^*.

Norma W^{1,p} del riordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Vale la disuguaglianza di Polya-Szego, per cui se una funzione appartiene allo spazio W^{1,p} anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
  • (EN) Srinivasan Kesavan, Symmetrization & applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, ISBN 981-256-733-X.
  • (EN) Bernhard Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Berlino, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-15693-3.
  • (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Parigi, Hermann, 1984, ISBN 2-7056-5963-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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