Spazio di Schwartz

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In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un polinomio.

Indicato con \mathcal{S}, lo spazio di Schwartz è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un endomorfismo. Grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di \mathcal{S}, che è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Lo spazio di Schwartz prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione f : \R^n \to \C, si definisca la norma:

\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbf{R}^n}|x^\alpha D^\beta f(x)|

dove \alpha e \beta sono multiindici, e:

D^\beta = \frac{\partial^{|\beta|} }{\partial x^{\beta_1}_1 \cdots \partial x^{\beta_n}_n}

Lo spazio di Schwartz \mathcal{S} su \Omega è lo spazio funzionale:[1]

 \mathcal{S} \left(\Omega\right) = \{ f \in C^\infty(\Omega) \mid  \| f \|_{\alpha,\beta} < \infty \quad \forall \, \alpha, \beta \}

dove C^\infty(\Omega) è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da \Omega a \mathbb{C}.

Ad esempio, se i è un multiindice e a è un numero reale positivo, allora x^i e^{-a x^2} appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione C^\infty con supporto compatto appartiene a \mathcal{S}. Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi (x^\alpha D^\beta ) f ha un massimo in \R^n.

Lo spazio duale \mathcal{S}' di \mathcal{S} è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Usando la regola di Leibniz, segue che \mathcal{S} è chiuso anche sotto moltiplicazione; se f,g \in \mathcal{S}, allora f,g: x\mapsto f(x)g(x) appartiene ancora a \mathcal{S}.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 133
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 319

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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