Quadripotenziale

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In fisica, in particolare in elettrodinamica, il quadripotenziale è il potenziale vettoriale associato all'interazione elettromagnetica, attraverso il quale si può esprimere il campo elettromagnetico. Si tratta di una quantità invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz.

Il quadripotenziale è un vettore a quattro componenti, di cui la prima è il potenziale scalare elettrico e le restanti sono le componenti cartesiane del potenziale magnetico vettoriale, ed è un campo di gauge, ovvero possiede gradi di libertà ridondanti (da cui segue che differenti campi possono descrivere la stessa situazione fisica). Nel gauge di Lorenz, in particolare, è un quadrivettore,[1] dal momento che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come:[2]

A^{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, \mathbf A \right)

in cui \phi è il potenziale scalare ed \mathbf A il potenziale magnetico vettoriale.

L'unità di misura di A^\alpha è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Il campo elettrico ed il campo magnetico associati al quadripotenziale sono:

\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}

Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz.

Il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[3]

F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Gauge di Lorenz[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi gauge di Lorenz.

Nel gauge di Lorenz \partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0 in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

\Box A^{\alpha} = \mu_0 J^{\alpha}   \qquad   \left( \Box A^{\alpha} = \frac{4 \pi}{c} J^{\alpha} \right)

dove J^{\alpha} sono le componenti della quadricorrente, e:

\Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2} {\partial t^2}-\nabla^2

è l'operatore di d'Alembert.[2] Esplicitamente:

\Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}    \qquad   \left(\Box \phi = 4 \pi \rho \right)
\Box \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{j}   \qquad   \left( \Box \mathbf{A} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j} \right)

Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J

Per una data distribuzione di carica \rho(\mathbf{x},t) e corrente \mathbf{j}(\mathbf{x},t) le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

\phi (\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\rho( \mathbf{x}^\prime, \tau)}{ \left| \mathbf{x} - \mathbf{x}^\prime \right|}
\mathbf A (\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\mathbf{j}( \mathbf{x}^\prime, \tau)}{ \left| \mathbf{x} - \mathbf{x}^\prime \right|}

dove:

\tau = t - \frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}{c}

è il tempo ritardato.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ The Theory of Relativity, by R. K. Pathria, p128
  2. ^ a b Jackson, op. cit., Pag. 555
  3. ^ Jackson, op. cit., Pag. 556

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.
  • (EN) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853952-5.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]