Circolazione (fluidodinamica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Schema delle grandezze usate.

Nella fluidodinamica è detta circolazione il valore, solitamente indicato con Γ, della circuitazione di un campo di velocità lungo un percorso chiuso, ovvero la circuitazione della velocità:

\Gamma=\oint_{\partial S} \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} \cdot d\bar{r}

avendo indicato il percorso chiuso con \partial S in quanto sempre concepibile come frontiera di una superficie orientata. La circuitazione, ovvero l'integrale del prodotto scalare della velocità con l'ascissa curvilinea, equivale alla proiezione della velocità, punto per punto, sulla curva.

Per un flusso irrotazionale la circolazione è nulla. Altrimenti, se il percorso racchiude al suo interno un vortice, la circolazione rappresenta l'intensità del vortice.[1]

La circolazione può essere espressa, grazie al teorema del rotore, anche in funzione della vorticità ω:

\Gamma=\oint_{\partial S} \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} \cdot d\bar{r} = \int \!\!\! \int_S \nabla \times \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} \cdot \operatorname d \bar r^2 = \int \!\!\! \int_S \bar{\omega} \cdot \operatorname d \bar r^2

La circolazione fu usata per la prima volta, indipendentemente, da Frederick Lanchester, Martin Wilhelm Kutta, e Nikolaj Egorovič Žukovskij.[2]

Il teorema di Kutta-Joukowski (o Kutta-Žukovskij)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema Kutta-Joukowski.

Discontinuità del vortice libero[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Flusso potenziale incomprimibile#Flusso potenziale.

La soluzione particolare di vortice libero nelle equazioni a flusso potenziale incomprimibile in un sistema di coordinate polari, prevede che la componente di velocità radiale sia nulla, mentre la velocità tangenziale risulta dalla soluzione dell'equazione di Laplace:

 \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt}= \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \vartheta} \bar n_{\theta}= \frac{c}{r} \bar n_{\theta}.

Per le ipotesi della teoria del flusso potenziale, il flusso deve essere irrotazionale, ovvero possedere una circolazione nulla. Ma osserviamo che, se \partial S è una curva che contiene al suo interno l'origine (il centro del vortice), la quale è un punto di discontinuità in quanto:

 r \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} \rightarrow \infty ,

allora la circolazione sarà:

 \Gamma = \oint_{\partial S} \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} \cdot d \bar r = \int^{2 \pi}_{0} \left( \frac {\operatorname d \bar r}{\operatorname dt}\right)_\vartheta \, r \, d\vartheta = \int^{2 \pi}_{0} c \, d\vartheta = 2 \pi c

un valore diverso da zero. La circolazione rappresenta l'intensità del vortice e fornisce il valore della costante di integrazione c. La circolazione, ricordando la definizione di funzione di corrente, pertanto sarà rispetto alla soluzione:

 \begin{align}
\Gamma &= \frac {2 \pi \phi}{\vartheta} \\
\Gamma &= - \frac{2 \pi \psi}{\ln r} \\
\end{align}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Barnes W. McCormick, Aerodynamics of V/STOL Flight, Dover Publications, ISBN 0486404609.
  2. ^ John D. Anderson, Jr., Fundamentals of Aerodynamics, The McGraw-Hill Companies, 2001, ISBN 9780072950465.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]