Derivata esterna

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In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La derivata esterna di una forma differenziale di grado k è una forma differenziale di grado k+1.

Derivata esterna di una funzione[modifica | modifica sorgente]

Sia f una funzione liscia, ovvero una 0-forma. La derivata esterna di f è il differenziale df di f, ovvero l'unica uno-forma tale per che ogni campo vettoriale X si abbia df(X)=Xf, dove Xf è la derivata direzionale di f in direzione X.[1]

Derivata esterna di una k-forma[modifica | modifica sorgente]

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

  • df è il differenziale di f per f funzione liscia.
  • d(df)=0 per ogni funzione liscia f.
  • d (\alpha \wedge \beta)=d \alpha \wedge \beta + (-1)^p \alpha \wedge d\beta, con \alpha una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché d(d\alpha)=0 per ogni k-forma \alpha, mentre la terza implica, come caso particolare, che se f è una funzione e \alpha una k-forma allora d (f \alpha)=df \wedge \alpha + f \wedge d\alpha poiché le funzioni sono forme di grado zero.

Derivata esterna in coordinate locali[modifica | modifica sorgente]

In un sistema di coordinate locale (x^1,\dots,x^n) si considerino i differenziali (dx^1,\dots,dx^n), che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici I = (i_1,\dots,i_k), con 1 \le i_p \le n e 1 \le p \le k, la derivata esterna di una k-forma:

\omega = f_I\text{d}x^I=f_{i_1,i_2\cdots i_k}\text{d}x^{i_1}\wedge \text{d}x^{i_2}\wedge\cdots\wedge \text{d}x^{i_k}

su \R^n è definita nel modo seguente:[1]

\text{d}{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x^i} \text{d}x^i \wedge \text{d}x^I

Per una generica k-forma:

\omega = \sum_I f_I dx_I

con I = (i_1,\dots,i_n), la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

\omega = f_I\text{d}x_{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}x_{i_k}

allora si ha:


\text{d}{\omega} = \text{d} (f_I \text{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \text{d}x^{i_k} )

    = \text{d}f_I  \wedge (\text{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \text{d}x^{i_k})  +
          f_I \text{d}(\text{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}x^{i_k})

   = \text{d}f_I \wedge \text{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \text{d}x^{i_k} + 
    \sum_{p=1}^k (-1)^{(p-1)}f_I \text{d}x^{i_1} \wedge \cdots
                      \wedge \text{d}x^{i_{p-1}}\wedge \text{d}^2x^{i_p} \wedge \text{d}x^{i_{p+1}}\wedge \cdots 
                      \wedge \text{d}x^{i_k}

   = \text{d}f_I \wedge \text{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \text{d}x^{i_k}

   = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x^i} \text{d}x^i \wedge \text{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \text{d}x^{i_k}

dove f_I è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Formula invariante[modifica | modifica sorgente]

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma \omega quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci V_0,...,V_k:

\text{d}\omega(V_0,...,V_k) = \sum_i(-1)^{i} V_i\left(\omega(V_0, \ldots, \hat V_i, \ldots,V_k)\right)
+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i, V_j], V_0, \ldots, \hat V_i, \ldots, \hat V_j, \ldots, V_k)

dove [V_i,V_j] sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:

\omega(V_1, \ldots, \hat V_i, \ldots,V_k) = \omega(V_1, \ldots, V_{i-1}, V_{i+1}, \ldots, V_k)

In particolare, per 1-forme si ha:

d\omega(X,Y) = X \omega(Y) - Y \omega (X) - \omega([X,Y])

dove X e Y sono campi vettoriali.

La derivata esterna nel calcolo vettoriale[modifica | modifica sorgente]

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

Gradiente[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gradiente.

Una funzione liscia f : \R^n \to \R è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:

\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, \mathrm{d}x^i = \langle \nabla f,\cdot \rangle

In altre parole, la forma df agisce su ogni campo vettoriale V restituendo in ogni punto il prodotto scalare di V con il gradiente \nabla f. La 1-forma df è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di f nello spazio cotangente ad ogni punto.

Divergenza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Divergenza.

Un campo vettoriale V=(v_1,...,v_n) su \R possiede una corrispondente (n-1)-forma:

\omega _V = v_1 \; (\mathrm{d}x^2  \wedge \mathrm{d}x^3 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^n) - v_2 \; (\mathrm{d}x^1 \wedge \mathrm{d}x^3  \cdots \wedge \mathrm{d}x^n) + \cdots + (-1)^{n-1}v_n \; (\mathrm{d}x^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{n-1})
 =\sum_{p=1}^n{(-1)^{(p-1)}v_p(\mathrm{d}x^1  \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{p-1} \wedge \widehat{\mathrm{d}x^{p}} \wedge \mathrm{d}x^{p+1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^n)}

dove  \widehat{\mathrm{d}x^{p}} denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di \omega_V su un'ipersuperficie è il flusso di V attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

\mathrm{d} \omega _V = \operatorname{div}(V) \; (\mathrm{d}x^1 \wedge \mathrm{d}x^2 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^n)

Rotore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rotore (matematica).

Un campo vettoriale V su \R^n possiede una corrispondente 1-forma:

\eta_V = v_1 \; \mathrm{d}x^1 + v_2 \; \mathrm{d}x^2 + \cdots + v_n \; \mathrm{d}x^n

Localmente, \eta_V è il prodotto interno con V, e l'integrale di \eta_V lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" -V lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di \eta_V è la 2-forma:

\mathrm{d} \eta_V = \omega _{\operatorname{rot}(V)}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Todd Rowland, MathWorld - Exterior Derivative, 2012.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
  • Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
  • Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
  • Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica