Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes è un enunciato di geometria differenziale riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin): essa appare in una lettera da lui inviata a Stokes nel luglio del 1850.

Introduzione

Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che, se f è una funzione reale che ammette primitiva su un intervallo [a,b], l'integrale di f su [a,b] può essere calcolato tramite una sua primitiva:

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a).$

Il teorema di Stokes generalizza questo fatto nel senso seguente.

• Poiché $\frac{dF}{dx} = f$, si può reinterpretare dF(x) = f(x) dx attraverso il linguaggio delle forme differenziali come il differenziale esterno della 0-forma F(x): dF = f dx. Il teorema di Stokes tratta di n-forme ω e del loro differenziale esterno dω.
• L'intervallo [a,b] è una varietà differenziabile di dimensione uno, avente come frontiera l'insieme {a,b}. L'integrazione di f su questo intervallo può essere generalizzata all'integrazione su una varietà più generale e di ordine maggiore. Per far questo bisogna imporre delle condizioni tecniche: la varietà deve essere orientabile e la forma deve avere supporto compatto.
• I due punti a e b costituiscono la frontiera dell'intervallo. Più in generale, il teorema di Stokes si applica a varietà orientabili M con bordo. Il bordo, o frontiera, di M, indicato con ∂M, è ancora una varietà ed eredita l'orientazione di M. Ad esempio, l'orientazione dell'intervallo induce un'orientazione nei punti della sua frontiera: intuitivamente, si può dire che a sarà orientato nel modo opposto a b, poiché sono gli estremi opposti dell'intervallo. Integrare F sulla frontiera {a,b} significa considerare la differenza F(b) − F(a).

Con queste osservazioni, il teorema fondamentale del calcolo integrale si può scrivere come:

$\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a)$

Formulazione generale

Sia M una varietà differenziabile di dimensione n e sia α una n−1-forma a supporto compatto su M con frontiera ∂M con la sua orientazione indotta. Il teorema di Stokes afferma:

$\int_M \, d\alpha = \int_{\partial M}\alpha$

dove d rappresenta il differenziale esterno, definita usando solo la struttura della varietà.

Voci correlate

• Teorema di Torricelli-Barrow
• Teorema di Ostrogradskij
• Teorema di Kelvin

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