Pull-back

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In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore, come vedremo lineare, che dati due spazi vettoriali \mathcal{V, W} ed un operatore lineare \mathcal{L}:\mathcal{V}\to\mathcal{W} ad ogni tensore T\in\mathbf{T}^p_q(\mathcal{W}) associa un tensore dello stesso tipo su \mathcal{V}; più in generale questa operazione può essere fatta quando al posto di \mathcal{V, W} si considerino due varietà lisce \mathcal{M, N} qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare \mathcal{L} un'applicazione liscia \Phi:\mathcal{M}\to\mathcal{N} e al tensore T un campo tensoriale liscio su \mathcal{N}.

Nel definire questa operazione procederemo per gradi mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione \Phi) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Ovviamente come si può immaginare esiste un operatore "duale" del pull-pack che prende il nome di push-forward, che inverte il pull-back.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano \mathcal{M, N} due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, \Phi:\mathcal{M}\to\mathcal{N} e f:\mathcal{N}\to\mathbb{R}. Il pull-back di f tramite \Phi che si denoterà \Phi^*f:\mathcal{M}\to\mathbb{R} risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

f \circ\Phi=f(\Phi).

Ora consideriamo due spazi vettoriali \mathcal{V, W} con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali \mathcal{V^*, W^*}; sia \alpha\in\mathcal{W}^* e \mathcal{L}:\mathcal{V}\to\mathcal{W} allora il pull-back di \alpha tramite \mathcal{L} definito come \mathcal{L}^*:\mathcal{W}^*\to\mathcal{V}^* cioè \mathcal{L}^*\alpha\in\mathcal{V}^* e tale che per ogni v\in\mathcal{V} sia così definito

 \langle v,\mathcal{L}^*\alpha  \rangle :=  \langle \mathcal{L} v,\alpha  \rangle

l'operatore \mathcal{L}^* prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo (0,0), cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo (0,1) su \mathcal{W}. Proseguiremo lo studio nel caso di tensori e campi tensoriali covarianti cioè di tipo (0,p).

Pull-back di tensori (0,p)[modifica | modifica sorgente]

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo (0,1) ed anche in questo caso gli spazi vattoriali \mathcal{V, W} potranno non avere la stessa dimensione e quindi \mathcal{L} non essere invertibile. Consideriamo T\in\mathbf{T}^0_p(\mathcal{W}) allora possiamo definire \mathcal{L}^*T\in\mathbf{T}^0_p(\mathcal{V}) in questo modo; dati v_1,v_2,\cdots,v_p\in\mathcal{V} si ha

\mathcal{L}^*T(v_1,v_2,\cdots,v_p):=T({\mathcal{L}v_1,\mathcal{L}v_2,\cdots,\mathcal{L}v_p}).

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se noi consideriamo l'applicazione multilineare così definita

\phi:\mathcal{W}^*\times\mathcal{W}^*\times\cdots\times\mathcal{W}^*\to\otimes^p\mathcal{V}^*
\phi(\beta^1,\dots,\beta^p)=\mathcal{L}^*\beta^1\otimes\cdots\otimes\mathcal{L}^*\beta^p

\beta^i\in\mathcal{W}^*\quad i=1,\dots,p. Per la proprietà di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

\otimes^p\mathcal{L}^*:\otimes^p\mathcal{W}^*\to\otimes^p\mathcal{V}^*

tale che

\otimes^p\mathcal{L}^*(\beta^1\otimes\cdots\otimes\beta^p)=\mathcal{L}^*\beta^1\otimes\cdots\otimes\mathcal{L}^*\beta^p

Ora ricordando che ogni T\in\mathbf{T}^0_p(\mathcal{W}), data una base \eta_i\in\mathcal{W}^*\quad i=1,\dots,p di \mathcal{W}^*, ammette un'unica scrittura del tipo T^{i_1,\dots,i_p}\eta_{i_1}\otimes\cdots\otimes\eta_{i_p}, dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora consideriamo due varietà lisce \mathcal{M, N} con dimensione rispettivamente m e n, un'applicazione \Phi:\mathcal{M}\to\mathcal{N} liscia e un campo tensoriale T\in\mathbf{T}^0_p\mathcal{N} liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trascinare" un campo tensoriale dello stesso tipo su \mathcal{M}.

Osserviamo che ogni applicazione \Phi liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata T\Phi:T\mathcal{M}\to T\mathcal{N}, tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di \mathcal{M}, in un punto M, fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di \mathcal{N} nel punto immagine \Phi(M). Ovviamente questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione \Phi.

Ora grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti

\Phi^*T\in\mathbf{T}^0_p\mathcal{M}

è così definito

\Phi^*T|_M(X_1,\cdots,X_p)=T|_{\Phi(M)}(T\Phi X_1,\cdots,T\Phi X_p)

dove M è un punto sulla varietà \mathcal{M} e X_1,\cdots,X_p\in T\mathcal{M}.

Pull-back di tensori arbitrari[modifica | modifica sorgente]

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso avremo due spazi vettoriali \mathcal{V, W} con dimensione uguale, un isomorfismo \mathcal{L}:\mathcal{V}\to\mathcal{W}, e un tensore T\in\mathbf{T}^p_q\mathcal{W}; il pull-back, dati \beta^1,\cdots,\beta^p\in\mathcal{V^*}\quad v_1,\cdots,v_q\in\mathcal{V}, per definizione è

\mathcal{L}^*T(\beta^1,\cdots,\beta^p,v_1,\cdots,v_q)=T(\mathcal{L^*}^{-1}\beta^1,\cdots,\mathcal{L^*}^{-1}\beta^p,\mathcal{L}v_1,\cdots,\mathcal{L}v_q).

\mathcal{L^*}^{-1} indica l'iverso dell'aggiunto che esiste perché \mathcal{L^{-1}}^*=\mathcal{L^*}^{-1} infatti

\mathcal{L^*}:\mathcal{W^*}\to\mathcal{V^*}
\mathcal{L^*}^{-1}:\mathcal{V^*}\to\mathcal{W^*}.

Quindi la definizione è ben posta e notiamo che nel caso di tensori (0,q) la definizione coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta \mathcal{M, N} dovranno avere la stessa dimensione e la funzione \Phi dovrà essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su \mathcal{N}, il suo pull-back risulta essere

\Phi^*T|_M(\alpha^1,\cdots,\alpha^p,X_1,\cdots,X_q)=T|_{\Phi(M)}(T\Phi^{*-1}\alpha^1,\cdots,T\Phi^{*-1}\alpha^p,T\Phi X_1,\cdots,T\Phi X_q)

dove T\Phi indica sempre l'applicazione tangente e \alpha^i\in T^*\mathcal{M}\quad X_j\in T\mathcal{M}.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo il pull-back di un campo vettoriale X\in T\mathcal{N}; da quanto detto risulta:

\Phi^*X=T\Phi^{-1}X\in\mathcal{M}

Sia ora \gamma:I\in\mathbb{R}\to\mathcal{N} tale che \frac{d\gamma}{dt}=X\quad\forall t\in I\quad e \gamma(0)=N_0, cioè la soluzione del problema di Cauchy su \mathcal{N} con dato iniziale N_0.

Allora si ha che \Phi^{-1}\circ\gamma è soluzione del PC su \mathcal{M} con dato iniziale M_0=\Phi^{-1}(N_0) del campo vettoriale \Phi^*X. Quindi se ora consideriamo il flusso \Psi^X_t indotto dal campo vettoriale X su \mathcal{N}, il rispettivo flusso del campo vettoriale T\Phi^{-1}X su \mathcal{M} risulta essere \Phi^{-1}\circ\Psi^{X}_t\circ\Phi.

Espressione sulle basi del pull-back[modifica | modifica sorgente]

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà, giustamente, perché i tensori, e il colcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti.

In questa sezione mostreremo invece quale sarà l'espressione del pull-back sulle basi; siano e_1,\dots,e_n\in\mathcal{V}\quad \eta^1,\dots,\eta^n\in\mathcal{V}^* una base su \mathcal{V} e la rispettiva base duale su \mathcal{V}^*, f_1,\dots,f_n\in\mathcal{W}\quad \varphi^1,\dots,\varphi^n una base su \mathcal{W} e la duale su \mathcal{W}^*. Quindi l'operatore \mathcal{L}:\mathcal{V}\to\mathcal{W} rispetto a queste basi avrà questa rappresentazione

\mathcal{L}e_i=\mathcal{L}_i^jf_j

con j indice di riga e i di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein(per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza \mathcal{L}^* si rappresenta

\mathcal{L}^*\varphi^i=\mathcal{L}^i_j\eta^j

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componenete (\mathcal{L}^*T)^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q} su tale base risulta

\mathcal{L}^*T(\eta^{i_1},\dots,\eta^{i_q},e_{j_1},\dots,e_{j_p},)=T(\mathcal{L}^{-1 \ i_1}_{\quad r_1}\varphi^{r_1},\dots,\mathcal{L}^{-1 \ i_p}_{\quad r_p}\varphi^{r_p},\mathcal{L}_{j_1}^{s_1}f_{s_1},\dots,\mathcal{L}_{j_q}^{s_q}f_{s_q})=\mathcal{L}^{-1 \ i_1}_{\quad r_1}\cdots\mathcal{L}^{-1 \ i_p}_{\quad r_p} \ T^{r_1\cdots r_p}_{s_1\cdots s_q} \ \mathcal{L}_{j_1}^{s_1}\cdots\mathcal{L}_{j_q}^{s_q}

dove  T^{r_1\cdots r_p}_{s_1\cdots s_q}=T(\varphi^{i_1},\dots,\varphi^{i_p},f_{j_1},\dots,f_{j_q}).

Notiamo che al posto di considerare un altro spazio vettoriale \mathcal{W} avessimo considerato sempre \mathcal{V}, allora \mathcal{L} risulterebbe l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensore durante il cambio di base.

Composizione del pull-back[modifica | modifica sorgente]

Sia data una terza varietà Q e un diffeomorfismo \Psi:\mathcal{N}\to\mathcal{Q} allora il pull-back di un campo tensoriale T\in\mathbf{T}^p_qQ su \mathcal{M} risulta essere il pull-back della composizione di funzioni \Phi\circ\Psi che è un diffeomorfismo tra \mathcal{M, Q} e dato che l'applicazione tangente T(\Phi\circ\Psi)=T\Phi\circ T\Psi, si ha la seguente relazione:

(\Phi\circ\Psi)^*T=\Phi^*\Psi^*T

Da questa relazione dato che il pull-back della funzione identità è l'identità si ha:

\Phi^{-1*}=\Phi^{*-1}

Pull-back commuta con la derivata esterna[modifica | modifica sorgente]

Date due varietà \mathcal{M, N}, una funzione liscia \Phi:\mathcal{M}\to\mathcal{N}, una q-forma \theta su \mathcal{M}, si ha la seguente uguaglianza:

\Phi^*\mathbf{d}\theta=\mathbf{d}\Phi^*\theta

dove \mathbf{d} indica la derivata esterna.

Notiamo innanzitutto che è un'uguaglianza tra q+1-forme su \mathcal{M}, difatti questa relazione è verificata se mostriamo l'uguaglianza tra:

\Phi^*df=d\Phi^*f

f è una funzione scalare liscia su \mathcal{N} (quindi può essere vista come una 0-forma su \mathcal{N}).

Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

\Phi^*df=df\circ T\Phi=d(f\circ\Phi).

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una q-forma \Omega=\omega_{i_1\dots i_q} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_q} è:

d\Omega=\frac{\partial\omega_{i_1\dots i_q}}{\partial x^j}dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_q}

con i_1<i_2<\cdots<i_q \ ,\quad\omega:\mathcal{N}\to\mathbb{R} liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Si ha la tesi.

Pull-back e derivata di Lie[modifica | modifica sorgente]

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore T lungo un campo vettoriale X, vi è la seguente relazione:

\mathcal{L}_{\Phi^*X}\Phi^*T=\Phi^*\mathcal{L}_X T

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che \Phi^{*-1} non dipende dal tempo; da cui:

\mathcal{L}_{\Phi^*X}\Phi^*T=\frac{d}{dt}\Phi^*\Psi^{X*}_t\Phi^{-1*}\Phi^*T=\Phi^*\frac{d}{dt}\Psi^{X*}_tT=\Phi^*\mathcal{L}_XT

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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