Algebra esterna

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Interpretazione geometrica di un prodotto esterno di n vettori (u,v,w) per ottenere un vettore n (elementi paralleletopi) dove n= grado, per n = 1,2,3. I circoli mostrano l'orientamento

L'algebra di Grassmann o algebra esterna di un dato spazio vettoriale V sopra un campo K è una certa algebra associativa dotata di elemento neutro, generata dalla definizione di un prodotto esterno o prodotto wedge scritto come \wedge. È denotata con Λ(V) o Λ(V) e contiene V come sottospazio. Le algebre esterne sono molto utilizzate nella geometria differenziale e nella geometria algebrica (algebra esterna delle forme differenziali) oltre che nell'algebra multilineare e nei settori collegati.

Il prodotto esterno è associativo e bilineare; la sua proprietà essenziale è che sia alternante su V:

v\wedge v = 0 per tutti i vettori v\in  V

ossia:

u\wedge v = - v\wedge u per ogni vettore u,v\in V, e
v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0 qualora v_1,\ldots,v_k\in V siano linearmente dipendenti.

Il concetto di prodotto esterno generalizza i concetti di prodotto vettoriale e di triplo prodotto scalare della geometria euclidea tridimensionale. Esso fornisce un modo algebrico astratto, indipendente dalla scelta di una base, per descrivere il determinante e i minori di una trasformazione lineare. È quindi collegato alle idee di indipendenza lineare e di rango.

L'algebra di Grassmann è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione graduata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

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