Numeri di Grassmann

In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità $\theta_i$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari $x_j$,

$\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x_j = x_j\theta_i.$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

$\theta_i\theta_i = 0.\,$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L' algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2ⁿ. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

$\theta_1, \theta_2, \theta_3$

$\theta_1 \theta_2, \theta_2 \theta_3, \theta_3 \theta_1$

$\theta_1 \theta_2 \theta_3$

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 2³=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l' algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann $\theta_1$ e $\theta_2$. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4:

$\theta_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ \end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2ⁿ × 2ⁿ matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2ⁿ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni

In teoria quantistica dei campi, i numeri di Grassman sono usati per definire l'integrale sui cammini dei campi fermionici. A questo scopo è necessario definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti".

Voci correlate

• Algebra di Grassmann
• Bereziniano
• Superspazio
• Integrale di Grassman

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