Numeri di Grassmann

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità \theta_i che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari x_j,

\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x_j = x_j\theta_i.

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

\theta_i\theta_i = 0.

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L' algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2n. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

\theta_1, \theta_2, \theta_3
\theta_1 \theta_2, \theta_2 \theta_3, \theta_3 \theta_1
\theta_1 \theta_2 \theta_3

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 23=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica sorgente]

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l' algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann \theta_1 e \theta_2. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4:

\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2n × 2n matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2n stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

In teoria quantistica dei campi, i numeri di Grassman sono usati per definire l'integrale sui cammini dei campi fermionici. A questo scopo è necessario definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti".

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica