Teoria quantistica dei campi

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Teoria quantistica dei campi
Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
Diagramma di Feynman
Storia della teoria quantistica dei campi


La teoria quantistica dei campi (in inglese Quantum field theory o QFT) è l'estensione delle leggi della meccanica quantistica ai campi.

Fu elaborata originariamente come evoluzione della meccanica quantistica nell'ambito della fisica delle particelle, ed in particolare la teoria quantistica del campo elettromagnetico, l'elettrodinamica quantistica(QED), è una delle teorie più testate e di successo della fisica. Ha poi trovato estesa applicazione anche in fisica della materia condensata, in quanto i campi, entità fisiche rappresentate in ogni punto dello spaziotempo, possono descrivere sia le radiazioni che la materia, come ad esempio i fluidi o i cristalli.

I fondamenti della teoria quantistica dei campi furono sviluppati tra i tardi anni venti e gli anni cinquanta del Novecento principalmente da Paul Adrien Maurice Dirac, Wolfgang Pauli, Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard P. Feynman e Freeman Dyson.

Imperfezioni della meccanica quantistica ordinaria[modifica | modifica sorgente]

La teoria quantistica dei campi corregge molte imprecisioni della meccanica quantistica ordinaria, che discuteremo brevemente. L'equazione di Schrödinger, nella sua forma più comune è


\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)

dove \hbar è la costante di Planck ridotta, Ψ è la funzione d'onda di una particella, m la sua massa, e V un'energia potenziale applicata.

Ci sono due problemi associati a questa equazione. In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se notiamo che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica p²/2m, mentre l'energia a riposo mc² viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo, ad esempio, l'equazione di Klein-Gordon per particelle scalari (spin nullo) o l'equazione di Dirac per particelle di spin un mezzo. Comunque, queste equazioni hanno molti aspetti insoddisfacenti; ad esempio, possiedono uno spettro energetico che si estende fino a -∞, e quindi non esiste uno stato fondamentale. Queste inconsistenze si ottengono poiché queste equazioni non considerano la possibilità di creare o distruggere dinamicamente delle particelle, che è un aspetto cruciale della relatività. La famosa relazione massa-energia di Einstein prevede che particelle sufficientemente grandi possano decadere in particelle più leggere, e particelle sufficientemente energetiche possano combinarsi a formare particelle grandi. Ad esempio, un elettrone e un positrone possono annichilarsi a vicenda per creare due fotoni. Questi processi devono essere tenuti in considerazione in una teoria quantistica veramente relativistica.

Il secondo problema si ha quando cerchiamo di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di N bosoni si scrive come


\Phi(r_1, ..., r_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{p} \phi_{p(1)} (r_1) \cdots \phi_{p(N)} (r_N)

dove ri sono le coordinate della i-esima particella, φi sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la sommatoria è presa su tutte le possibili permutazioni di p elementi. In generale, questa è una sommatoria di N! (N fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di N.

Campi quantistici[modifica | modifica sorgente]

Entrambi i problemi di cui sopra vengono risolti spostando l'attenzione da un insieme di particelle indistruttibili a un "campo quantistico". La procedura per la quale i campi quantistici vengono costruiti da particelle individuali venne introdotta da Dirac, ed è nota (per motivi storici) come seconda quantizzazione.

Dobbiamo evidenziare due possibili punti di confusione. Prima di tutto, le summenzionate descrizioni di "campo" e "particella" non si riferiscono alla dualità onda-corpuscolo. Per "particella" ci riferiamo a entità che possiedono entrambi gli attributi ondulatori e corpuscolari, nel senso classico della meccanica quantistica; ad esempio, queste "particelle" non sono generalmente posizionate in un punto fisso, ma hanno una certa probabilità di essere trovate in una certa posizione nello spazio. Quello che indichiamo come "campo" è un'entità che esiste in ogni punto dello spazio, "che regola la creazione e l'annichilazione delle particelle". In secondo luogo, la teoria quantistica dei campi è essenzialmente la meccanica quantistica, e non una teoria sostitutiva della meccanica quantistica. Come in ogni sistema quantistico, un campo quantistico possiede una hamiltoniana H (anche se è più complicata delle tipiche Hamiltoniane delle singole particelle), e obbedisce alla solita equazione di Schrödinger

 H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle[1]

Nella seconda quantizzazione, facciamo uso dell'indistinguibilità delle particelle, specificando una funzione d'onda di più particelle, in termini di numero di occupazione della singola particella. Ad esempio, si supponga di avere un sistema con N bosoni che possono occupare vari stati della singola particella: φ1, φ2, φ3, e così via. Il metodo usuale di scrivere una funzione d'onda per più particelle è quello di assegnare uno stato ad ogni particella e quindi imporre una simmetria di scambio. Come abbiamo visto, la funzione d'onda risultante è una poco maneggevole somma di N! termini. Nell'approccio della seconda quantizzazione, elenchiamo semplicemente il numero di particelle in ognuno degli stati della singola particella, ben sapendo che la funzione d'onda per più particelle bosoniche è simmetrica. Per essere precisi, supponiamo che N = 3, con una particella nello stato φ1 e due nello stato φ2. Il modo normale di scrivere la funzione d'onda è


\frac{1}{\sqrt{3}} \left[
\phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) +
\phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) +
\phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]

Mentre in forma di seconda quantizzazione è semplicemente

 |1, 2, 0, 0, \cdots \rangle

Anche se la differenza è puramente notazionale, l'ultima forma rende estremamente semplice definire operatori di "creazione" e di "annichilazione", che aggiungono e sottraggono particelle dagli stati a più particelle. Questi operatori di creazione ed annichilazione sono molto simili a quelli definiti per gli oscillatori armonici quantistici, che aggiungono e sottraggono quanti di energia. Comunque, questi operatori, creano e annichilano particelle con un dato stato quantico. Ad esempio l'operatore di annichilazione a2 ha i seguenti effetti:

 a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}
 a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle
 a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0

(Il fattore √2 nella prima linea normalizza la funzione d'onda e non è importante)

Infine, introduciamo gli "operatori di campo", che definiscono la probabilità di creare o distruggere una particella in un particolare punto dello spazio. si scopre che le funzioni d'onda della singola particella sono normalmente enumerate in termini della loro quantità di moto (come nel problema della particella in una scatola), cosicché gli operatori di campo possono essere costruiti applicando delle trasformate di Fourier agli operatori di creazione ed annichilazione. Ad esempio, l'operatore di annichilazione del campo bosonico φ(r) (che non va confuso con la funzione d'onda) è

\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i}

Nella teoria quantistica dei campi, le Hamiltoniane sono scritte in termini di operatori di creazione o annichilazione o, equivalentemente, di operatori di campo. Il secondo metodo è più comune in fisica della materia condensata, mentre il primo è più comune in fisica delle particelle, poiché è più facile da gestire con la relatività. Un esempio di Hamiltoniana scritta in termini di operatori di creazione e annichilazione è

H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k

Questa descrive un campo di bosoni liberi (non-interagenti), dove Ek è l'energia cinetica del k-esimo modo di momento. Infatti, questa Hamiltoniana è utile per descrivere fononi non-interagenti.

Assiomi di Wightman[modifica | modifica sorgente]

Gli assiomi di Wightman sono uno dei molti tentativi di dare una solida base matematica alla teoria quantistica dei campi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ La teoria quantistica dei campi è spesso formulata in termini di una lagrangiana, che è più comoda da manipolare. Ad ogni modo la formulazione lagrangiana e hamiltoniana sono equivalenti.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0201503972
  • Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
  • Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
  • Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
  • Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
  • C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
  • N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
  • L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
  • G, Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
  • Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press
  • F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
  • F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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