Teoria classica dei campi

Una teoria classica dei campi (o teoria classica di campo) è una teoria fisica che predice, tramite equazioni di campo, come uno o più campi interagiscono con la materia. Il termine "teoria classica dei campi" è comunemente riferito alle teorie che descrivono l'elettromagnetismo e la gravità, due delle interazioni fondamentali della natura. Le teorie che incorporano la meccanica quantistica sono dette teorie quantistiche dei campi.

Si può pensare a un campo assegnando a ciascun punto dello spazio e del tempo una grandezza fisica. Ad esempio, in una previsione meteorologica, la velocità del vento durante un giorno è descritta assegnando un vettore a ciascun punto dello spazio. Ogni vettore rappresenta la direzione del movimento dell'aria a quel punto, e così l'insieme di tutti questi vettori in un'area a un dato istante di tempo costituisce un campo vettoriale. Con il passare del tempo, le direzioni verso cui i vettori puntano cambiano al variare della direzione del vento.

Le prime teorie di campo, la gravitazione newtoniana e le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico in fisica classica, furono formulate prima dell'avvento della teoria della relatività nel 1905, e dovettero essere revisionate per essere coerenti con quella teoria. Di conseguenza, le teorie di campo classiche sono solitamente divise in non relativistiche e relativistiche. Le teorie di campo moderne sono spesso espresse usando il formalismo della meccanica analitica e del calcolo tensoriale. Un formalismo matematico alternativo più recente descrive le teorie di campo come sezioni di oggetti matematici chiamati fibrati.

Nel 1839 James MacCullagh presentò equazioni di campo per descrivere la riflessione e la rifrazione in "An essay toward a dynamical theory of crystalline reflection and refraction".

Teorie di campo non relativistiche

Alcuni dei campi fisici più semplici sono campi di forze vettoriali. Storicamente, la prima volta che si è usato il concetto di campo fu con le linee di forza di Faraday usate per descrivere il campo elettrico. Il campo gravitazionale poi descritto in modo simile.

Gravità newtoniana

La prima teoria di campo della gravità fu la teoria di Newton nel quale la mutua interazione tra due masse soddisfa la legge dell'inverso del quadrato. Questo fu molto utile per predire il moto dei pianeti intorno al Sole.

Ogni corpo massivo M ha un campo gravitazionale g che descrive l'influenza di M su altri corpi massivi. Il campo di M in un punto r nello spazio si calcola determinando la forza F che M esercita su una piccola massa di prova m collocata in r, e poi dividendo per m:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.$

Solitamente si assume che m sia molto più piccola di M perché ciò assicura che la presenza di m abbia un'influenza trascurabile sul comportamento di M.

Secondo la legge di gravitazione universale, F(r) è data da

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$

dove ${\hat {\mathbf {r} }}$ è un versore che punta lungo la linea da M a m, e G è la costante di gravitazione universale. Pertanto il campo gravitazionale di M è

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.$

L'osservazione sperimentale del fatto che la massa inerziale e la massa gravitazionale sono uguali a livelli di accuratezza senza precedenti induce a considerare il campo gravitazionale identico all'accelerazione percepita da una particella. Questo è il punto di partenza per il principio di equivalenza, che porta alla relatività generale.

Per un insieme discreto di masse M_i, posizionate nei punti r_i, il campo gravitazionale in un punto r dovuto a queste masse è

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,$

Se si considera invece una distribuzione continua di massa ρ, la sommatoria si sostituisce con un integrale,

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,$

Nella forma integrale la legge di Gauss per la gravità è

$\iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM$

mentre in forma differenziale è

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}$

Pertanto, il campo gravitazionale g può essere scritto in termini del gradiente di un potenziale gravitazionale φ(r):

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).$

Questa è una conseguenza della conservatività della forza gravitazionale.

Elettromagnetismo

Elettrostatica

Una carica di prova q sente una forza F solo per via della sua carica. Possiamo descrivere il campo elettrico E tale che F = qE. Usando questo e la legge di Coulomb, il campo elettrico dovuto a una singola carica è

$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.$

Il campo elettrico è conservativo, quindi è dato dal gradiente del potenziale scalare, V(r)

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.$

La legge di Gauss per l'elettrostatica è, in forma integrale,

$\iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {q_{e}}{\epsilon _{0}}}$

mentre in forma differenziale

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\epsilon _{0}}}\,.$

Magnetostatica

Una corrente stazionaria I lungo un percorso ℓ eserciterà una forza sulle cariche vicine che è quantitativamente diversa dalla forza elettrica descritta sopra. La forza esercitata da I su una carica vicina q con velocità v è

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),$

dove B(r) è il campo magnetico, determinato da I mediante la legge di Biot-Savart:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.$

Il campo magnetico non è in genere conservativo, quindi non può essere scritto in termini di un potenziale scalare; può essere invece scritto in termini di un potenziale vettore, A(r):

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

La legge di Gauss per il magnetismo in forma integrale è

$\iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,$

mentre in forma differenziale è

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0.$

L'interpretazione fisica è che non esistono monopoli magnetici.

Elettrodinamica

In generale, in presenza di una densità di carica ρ(r, t) e una densità di corrente J(r, t), ci sarà sia un campo elettrico sia uno magnetico, ed entrambi varieranno nel tempo. Sono determinati dalle equazioni di Maxwell, un sistema di equazioni differenziali che correlano E e B alla densità di carica (carica per unità di volume) ρ e alla densità di corrente elettrica (corrente per unità di area) J.

In alternativa, si può descrivere il sistema in termini dei potenziali V e A. Un sistema di equazioni integrale conosciute come potenziali ritardati permettono di calcolare V e A da ρ e J, e da ciò i campi elettrico e magnetico sono determinate dalle relazioni

$\mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Meccanica del continuo

Fluidodinamica

La fluidodinamica tratta di campi di pressione, densità, e flusso che sono connessi dalle leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto. La conservazione della massa è rappresentata da un'equazione di continuità della forma

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

e le equazioni di Navier-Stokes rappresentano la conservazione della quantità di moto nel fluido, trovata dall'applicazione delle leggi di Newton al fluido,

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}$

se sono dati la densità ρ, la pressione p, il tensore degli sforzi τ del fluido, nonché le forze esterne al corpo b. La soluzione di queste equazioni è il campo di velocità u.

Teoria del potenziale

Il termine "teoria del potenziale" nasce dal fatto che, nella fisica del XIX secolo, si credeva che le forze fondamentali della natura derivassero da potenziali scalari che soddisfano l'equazione di Laplace. Poisson, studiando la stabilità delle orbite planetarie, ricavò l'equazione che porta il suo nome. La forma generale di quest'equazione è

$\nabla ^{2}\phi =\sigma$

dove σ è una funzione delle sorgenti (come la densità) e φ il potenziale scalare che bisogna trovare.

Nel caso di assenza di sorgenti, questi potenziali soddisfano l'equazione di Laplace:

$\nabla ^{2}\phi =0$

Teoria di campo relativistica

Le formulazioni moderne delle teorie di campo classiche richiedono generalmente la covarianza di Lorentz siccome viene considerata una caratteristica fondamentale della natura. Una teoria di campo solitamente è espressa matematicamente usando la lagrangiana. Questa è una funzione che, soggetta a un principio di azione, porta a equazioni di campo e a una legge di conservazione della teoria. L'azione è uno scalare di Lorentz, dal quale si può derivare facilmente le equazioni di campo e le simmetrie.

D'ora in poi saranno usate unità per cui la velocità della luce nel vuoto è c = 1.

Dinamica lagrangiana

Dato un tensore di campo φ, uno scalare detto densità lagrangiana

${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)$

può essere costruito da φ e dalle sue derivate.

Da questa densità, il funzionale d'azione può essere ottenuto integrando sullo spaziotempo,

${\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.$

Qui ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ è l'elemento di volume nello spaziotempo curvo. $(g\equiv {\text{det}}(g_{\mu \nu }))$

Quindi, la lagrangiana è uguale all'integrale della densità di lagrangiana su tutto lo spazio.

Pertanto, applicando il principio di azione si ottengono le equazioni di Eulero–Lagrange

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.$

Campi relativistici

Elettromagnetismo

Storicamente, le prime teorie trattavano i campi elettrico e magnetico separatamente. Dopo numerosi esperimenti, si scoprì che questi due campi sono correlati, o due aspetti dello stesso campo: il campo elettromagnetico. La teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell descrive l'interazione delle cariche con il campo elettromagnetico. La prima formulazione di questa teoria faceva uso di campi vettoriali. Dall'avvento della relatività ristretta, si usa una formulazione più completa, usando campi tensoriali. Invece di usare due campi vettoriali per descrivere il campo elettrico e magnetico, si utilizza un campo tensoriale che rappresenta i due campi insieme.

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come A_a = (-φ, A), e la quadricorrente j_a = (-ρ, j). Il campo elettromagnetico in un qualsiasi punto dello spaziotempo è descritto dal tensore elettromagnetico, antisimmetrico e di tipo (0,2), della forma

$F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.$

La lagrangiana

Per ottenere la dinamica da questo campo, si cerca di formare uno scalare da esso. Nel vuoto, si ha

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.$

Tramite la teoria di gauge si può trovare il termine di interazione e quindi diventa

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.$

Le equazioni

Per ottenere le equazioni di campo, bisogna sostituire il tensore elettromagnetico con la sua definizione in termini del quadripotenziale A, ed è questo potenziale ad entrare nelle equazioni di Eulero-Lagrange. Il campo F non varia nelle equazioni E-L. Pertanto,

$\partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.$

Valutare la derivata della densità di lagrangiana rispetto alle componenti del campo

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,$

e alle loro derivate

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,$

dà le equazioni di Maxwell nel vuoto. Le equazioni delle sorgenti (la legge di Gauss per l'elettricità e la legge di Maxwell-Ampère) sono date da

$\partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.$

mentre le altre due (la legge di Gauss per il magnetismo e la legge di Faraday) sono ottenute dal fatto che F è il quadrirotore di A, o, in altre parole, dal fatto che per il tensore elettromagnetico vale l'identità di Bianchi.

$6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.$

dove la virgola indica una derivata parziale rispetto alla componente dopo la virgola.

Gravità

Dopo aver trovato che la gravità newtoniana risulta incompatibile con la relatività ristretta, Albert Einstein formulò una nuova teoria della gravità, la relatività generale. Essa tratta la gravità come un fenomeno geometrico (lo 'spaziotempo curvo') causato dalla presenza di massa o energia e descrive il campo gravitazionale matematicamente da un tensore chiamato tensore metrico. Questa teoria supera quindi la teoria di Newton. Le equazioni di campo di Einstein,

$G_{ab}=\kappa T_{ab}$

descrivono come viene prodotta la curvatura dalla materia e dalla radiazione; qui G_ab è il tensore di Einstein,

$G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$

scritto in termini del tensore di Ricci R_ab e dello scalare di Ricci R = R_abg^ab, T_ab è il tensore energia-impulso e κ = 8πG/c⁴ è una costante. In assenza di materia e radiazione le equazioni nel vuoto,

$G_{ab}=0\,$

possono essere derivate dalla variazione dell'azione di Einstein-Hilbert,

$S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

rispetto alla metrica g^ab, dove g è il suo determinante. Secondo un'interpretazione alternativa, di Arthur Eddington, è $R$ la grandezza fondamentale, $T$ è semplicemente un aspetto di $R$, e $\kappa$ è vincolata dalla scelta delle unità di misura.

Tentativi di unificazione

Durante il periodo interbellico, l'idea di unificare la gravità con l'elettromagnetismo era attivamente studiata da molti matematici e fisici come Albert Einstein, Theodor Kaluza, Hermann Weyl, Arthur Eddington, Gustav Mie e Ernst Reichenbacher.

I primi tentativi di creazione di una teoria del genere si basavano sull'integrazione dei campi elettromagnetici nella geometria della relatività generale. Nel 1918, la prima geometrizzazione del campo elettromagnetico fu proposta da Hermann Weyl. Nel 1919, Theodor Kaluza propose un approccio a cinque dimensioni, da cui seguì lo sviluppo della cosiddetta teoria di Kaluza-Klein, che tenta di unificare la gravità con l'elettromagnetismo in uno spaziotempo penta-dimensionale. Ci sono molti modi di estendere una teoria che sono stati considerati da Einstein e da altri ricercatori. Tali estensioni in genere si basano su due opzioni. La prima prevede il rilassamento delle condizioni imposte nella formulazione originale, e la seconda si basa sull'introduzione di nuovi oggetti matematici. La teoria di Kaluza-Klein è un esempio della prima opzione: è stata rilassata la restrizione allo spazio quadri-dimensionale considerando una dimensione in più. Per quanto riguarda la seconda opzione, l'esempio più rilevante è l'introduzione del concetto di connessione affine nella teoria della relatività generale, principalmente grazie ai lavori di Tullio Levi-Civita e Hermann Weyl.

Successivi sviluppi della teoria quantistica dei campi portarono a cercare una teoria di campo unificata nell'ambito della descrizione quantistica. A causa di ciò, molti fisici teorici abbandonarono l'idea di trovare una teoria unificata classica. Le teorie di campo quantistiche comportano l'unificazione delle altre due interazioni fondamentali, la forte e la debole, che agiscono a livello subatomico.

Bibliografia

• Clifford Truesdell e R.A. Toupin, The Classical Field Theories, in Siegfried Flügge (a cura di), Principles of Classical Mechanics and Field Theory/Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie, collana Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics), III/1, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1960, pp. 226-793, Zbl 0118.39702.

Collegamenti esterni

• Bo Thidé, Electromagnetic Field Theory (PDF), su plasma.uu.se. URL consultato il 14 febbraio 2006 (archiviato dall'url originale il 17 settembre 2003).
• Sean M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, 1997, Bibcode:1997gr.qc....12019C, arXiv:gr-qc/9712019.
• James J. Binney, Lecture Notes on Classical Fields (PDF), su www-thphys.physics.ox.ac.uk. URL consultato il 30 aprile 2007.
• Gennadi Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory, in International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, vol. 5, n. 7, novembre 2008, pp. 1163-1189, Bibcode:2008IJGMM..05.1163S, DOI:10.1142/S0219887808003247, ISBN 978-981-283-895-7, arXiv:0811.0331.