Teoria di Kaluza-Klein

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La teoria di Kaluza-Klein rappresenta un tentativo di unificazione del campo gravitazionale (descritto dalle equazioni della relatività generale) con il campo elettromagnetico (descritto dalle Equazioni di Maxwell) attraverso l'introduzione di una quinta dimensione spaziale. La teoria della relatività generale è invece definita in uno spazio fornito di quattro dimensioni (le tre spaziali e quella temporale).

Origine[modifica | modifica sorgente]

La teoria venne elaborata dal matematico Theodor Kaluza e sottoposta, nel 1919, al parere di Albert Einstein. Questi, dopo un'iniziale sottovalutazione, incoraggiò il giovane autore a curare la pubblicazione della teoria, cosa che avvenne per la prima volta nel 1921[1].

Precedenti[modifica | modifica sorgente]

Occorre notare che l'idea di sviluppare la teoria della gravitazione e le equazioni di Maxwell nel contesto di uno spazio pentadimensionale era già stata introdotta nel 1914 dal fisico finlandese Gunnar Nordström (1881-1923), nel suo tentativo di fondare due proprie teorie della gravitazione, importanti concorrenti della sintesi einsteiniana. Al giorno d'oggi le sue teorie rivestono una importanza storica e didattica, sebbene si siano rivelate in disaccordo con i dati sperimentali.
L'originale intuizione in esse contenute cadde tuttavia presto nel dimenticatoio, anche a seguito della prematura morte dell'autore.

Le equazioni di campo unificato[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni risultanti dalla teoria possono venire divise in due insiemi, uno equivalente alle equazioni di campo di Einstein, l'altro equivalente alle equazioni del campo elettromagnetico di Maxwell, con l'aggiunta di un ulteriore campo scalare, denominato radion.

Problemi[modifica | modifica sorgente]

Uno dei risvolti problematici della teoria era costituito dalla non osservabilità della quinta dimensione congetturata. In effetti l'universo in cui viviamo ci appare quadridimensionale e, a tutt'oggi, in attesa di nuovi dati sperimentali provenienti dal Large Hadron Collider di Ginevra, i dispositivi sperimentali disponibili non sono stati in grado di rivelare l'esistenza di eventuali dimensioni aggiuntive.

La soluzione di Oskar Klein[modifica | modifica sorgente]

Una possibile soluzione del paradosso fu proposta nel 1926 dal fisico svedese Oskar Klein (da non confondere con il matematico tedesco Felix Klein) il quale congetturò innanzitutto che la quarta dimensione spaziale non si estendesse all'infinito ma fosse 'arrotolata' su se stessa a costituire, in ciascun punto, uno spazio compatto, nella fattispecie un cerchio. La compattificazione così proposta consente alla dimensione aggiuntiva di estendersi (a differenza di quelle ordinarie) su distanze finite. L'invisibilità della dimensione aggiuntiva può essere allora spiegata solo se si accoglie un'ulteriore ipotesi in cui, la compattificazione della dimensione extra, avviene su scala così piccola da sfuggire alla sensibilità degli strumenti disponibili (e dei sensi umani).

Un esempio di dimensione aggiuntiva compattificata in due dimensioni[modifica | modifica sorgente]

La situazione può essere meglio spiegata immaginando di partire da uno spazio illimitato ma dotato di una sola dimensione spaziale (anziché tre), come ad esempio una retta. L'aggiunta di una dimensione compattificata a formare un cerchio renderà lo spazio così costruito simile ad un tubo cilindrico che si estenda indefinitamente nei due versi della retta (in effetti lo spazio risultante è omeomorfo, da un punto di vista topologico, ad un cilindro infinito in entrambi i versi).

Uno spazio così formato è alla portata della nostra immaginazione in quanto esso può essere immerso nello spazio ordinario (è cioè omeomorfo ad un sottospazio dello spazio ordinario). Una sua porzione finita è facilmente assimilabile ad un lungo tubo, sospeso tra due rocce, che, osservato da notevole distanza, ci appare ad occhio nudo come filiforme ed esteso in un'unica dimensione, la lunghezza.
Solo osservato con uno strumento più potente dell'occhio, come ad esempio un binocolo, esso ci si mostrerà come una strisciolina, rivelandoci il suo spessore e la sua estensione in due dimensioni.
Stufi di stare in quella posizione, e curiosi di sapere come sia fatto in realtà il nostro tubo, ci potremmo avvicinare: in questo modo, quello che da lontano ci appariva come una strisciolina si dimostra assomigliare in realtà ad un cilindro.

In equilibrio su un sottile universo[modifica | modifica sorgente]

Una persona che camminasse in equilibrio su un simile tubo, se molto sottile, sarebbe in grado di sperimentare (con i piedi) una sola dimensione: la lunghezza filiforme sotto di lui. Per contro, un essere di dimensioni confrontabili alla sezione del tubicino, un piccolissimo insetto ad esempio, sarebbe in grado di fare tutti i movimenti permessi dalla combinazione del movimento rotatorio intorno al tubo e di quello lungo il tubo. Grazie alle piccole dimensioni, sarebbe insomma in grado di sfruttare - ma soprattutto di percepire - la bidimensionalità della superficie del tubo.

Allo stesso modo, se noi potessimo rimpicciolirci a dimensioni paragonabili a quelle della distanza su cui è arrotolata (compattificata) la dimensione extra, riusciremmo a muoverci non solo nelle tre dimensioni spaziali a noi note, ma anche nella dimensione aggiuntiva, in una situazione che per il nostro cervello, evolutosi sulla usuale scala dimensionale, è impossibile da concepire.

Il modello di Klein[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio 2-D con l'aggiunta di una dimensione compattificata in cerchi

Lo stesso ragionamento può trasporsi alla situazione delle dimensioni extra prospettate dalla teoria, secondo l'interpretazione di Klein. Noi, trovandoci ad una scala estremamente più grande rispetto a quella in cui le dimensioni si fanno (per così dire) "sentire", riusciamo a vedere solo le tre dimensioni spaziali infinitamente estese. In questo senso si può dire che la dimensione extra è "nascosta" ai nostri sensi.

Bisogna però chiarire una differenza fondamentale con la realtà prospettata dalla teoria: ricordiamoci infatti che l'esempio del tubo è solo un'approssimazione di uno spazio cilindrico bidimensionale indefinitamente esteso. Teniamo inoltre conto del fatto che lo spazio immaginato da Kaluza (inclusa la dimensione aggiuntiva), a differenza di quello dell'esempio, non è immerso in uno spazio esterno ma rappresenta esso stesso tutto lo spazio, tutto l'universo esistente: non vi è alcun spazio esterno in cui un osservatore possa trovarsi a guardarlo.

L'abbandono della teoria[modifica | modifica sorgente]

La teoria di Kaluza-Klein, rappresentava un tentativo di unificazione che rimaneva comunque confinato in un orizzonte classico della fisica. Non era in grado di render conto di alcuni aspetti della realtà quali la quantizzazione della carica.
Per questo motivo, dopo l'iniziale interesse mostrato dalla comunità dei fisici, il modello di unificazione in 5 dimensioni venne abbandonato e cadde per anni nell'oblio.

Il ritorno in auge[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio 2-D con l'aggiunta di 6 dimensioni compattificate in Varietà di Calabi - Yau

I tentativi di fondare una teoria di unificazione consistente, hanno dato luogo a un lungo lavoro teorico ancora lontano dal concludersi.
Tra i percorsi teorici esplorati, nessuno coronato dal successo, vi è la Teoria delle stringhe che, fattasi strada dagli anni '60, ha inaspettatamente recuperato la congettura delle dimensioni aggiuntive "nascoste" dell'universo, facendo tornare in auge i pionieristici lavori precedenti.
Nella moderna teoria delle stringhe, e nella contigua M-teoria, si ipotizza l'esistenza di sei dimensioni spaziali aggiuntive, compattificate non in semplici cerchi, sfere o ipersfere ma nell'infinita varietà di forme, topologicamente più esotiche e polimorfiche, degli Spazi di Calabi - Yau compatti.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Theodor Kaluza. Op. cit. in Bibliografia, 1921.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Testi divulgativi[modifica | modifica sorgente]

  • Particelle,stringhe e altro di Warren Siegel, Di Renzo Editore (2008), ISBN 88-8323-204-6.
  • L'Universo Elegante di Brian Greene, Einaudi (2000), ISBN 88-06-15523-7.
  • La Trama del Cosmo di Brian Greene, Einaudi (2004), ISBN 88-06-18091-6.
  • La Materia-Specchio di Robert Foot, Macro Edizioni (2005) ISBN 88-7507-448-8.
  • Un Universo Diverso di Robert Laughlin, Codice Edizioni (2006) ISBN 88-7578-033-1.
  • Il Cervello Quantico di Jeffrey Satinover, Macro Edizioni (2002) ISBN 88-7507-408-9.
  • Il Giardino delle Particelle di Gordon Kane, Tea Edizioni (1997) ISBN 88-502-0125-7.
  • Il Paesaggio Cosmico: Dalla teoria delle stringhe al megaverso di Leonard Susskind, Adelphi (2006), ISBN 88-459-2153-0.
  • Neanche sbagliata. Il fallimento della teoria delle stringhe e la corsa all'unificazione delle leggi della fisica. di Peter Woit, Codice Edizioni, (2007) ISBN 88-7578-072-2.
  • Rischiare con Dio (dopo Einstein) di Antonino Palumbo, Edizioni Scientifiche Italiane, (2006), ISBN 88-495-1257-0.
  • L'Unificazione della Conoscenza di Antonino Palumbo, Edizioni Scientifiche Italiane, (2008), ISBN 978-88-495-1745-3.

Manuali[modifica | modifica sorgente]

  • Gunnar Nordström, Uber die Möglichkeit, das elektromagnetische Feld und das Gravitationsfeld zu vereinigen (Sulla possibilità di unificare i campi elettromagnetici e gravitazionali), Physik. Zeitschr., 15, 504-506, (1914).
  • Theodor Kaluza, On the problem of unity in physics, Sitzungsber Preuss. Akad. Wiss, Berlin. (Math. Phys.), 966-972, (1921).
  • Oskar Klein, Quantum theory and five dimensional theory of relativity, Z. Phys., 37, 895-906 (1926).
  • Michael Green, John Schwarz and Edward Witten, Superstring theory, Cambridge University Press (1987). Il libro di testo originale.
  • Johnson, Clifford, D-branes, Cambridge University Press (2003). ISBN 0-521-80912-6.
  • Joseph Polchinski, String Theory, Cambridge University Press (1998). Un testo moderno.
  • Zwiebach, Barton, A First Course in String Theory., Cambridge University Press (2004), ISBN 0-521-83143-1. Sono disponibili correzioni online.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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