Gauge di Lorenz

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Nell'ambito della teoria di gauge, il gauge di Lorenz è una scelta dei potenziali del campo elettromagnetico tali da soddisfare una determinata condizione, detta condizione di Lorenz. Tale condizione ha la proprietà di essere Lorentz invariante e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge: se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.[1][2]
La condizione di Lorenz è una proprietà imposta al potenziale elettromagnetico utilizzata nel calcolo di campi elettromagnetici variabili nel tempo attraverso i potenziali ritardati.[3]

Tale scelta appare particolarmente conveniente in elettrodinamica nella soluzione delle equazioni di Maxwell, ed in particolare nel calcolo dei potenziali ritardati e nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche. Tale condizione nella scelta della gauge si estende anche ad altri campi vettoriali, come il campo di Yang-Mills.

Questa scelta di gauge prende il nome dal fisico Ludvig Lorenz.

La condizione di Lorenz[modifica | modifica wikitesto]

La condizione di Lorenz è:

\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0

che in forma tensoriale è scritta come:

\partial_{\mu}A^\mu \equiv A^\mu{}_{\mu} = 0

dove A^\mu è il quadripotenziale.

Si può dimostrare che nell'ambito di tale gauge le equazioni di Maxwell per i potenziali possono essere espresse in forma simmetrica:[4][5]

\Box \mathbf {A}=\left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^{2}\right]\mathbf {A} = \mu_0\mathbf {J}
\Box\varphi = \left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^{2}\right] \varphi = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho

dove c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} è la velocità della luce nel vuoto e \Box l'operatore d'Alembertiano. Tali relazioni valgono tuttavia anche in mezzi polarizzati se \rho e \mathbf J sono le densità sorgenti dei campi \mathbf E e \mathbf B calcolate a partire dai potenziali \varphi \ ed \mathbf A attraverso le equazioni:[6]

\mathbf E=-\nabla\varphi -\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \qquad \mathbf B=\nabla\times \mathbf A

Le soluzioni esplicite per i potenziali sono uniche se è posto che si annullino all'infinito sufficientemente rapidamente, e sono i potenziali ritardati:[7]

\mathit \mathrm\Phi (\mathbf r ,\mathit t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho (\mathbf r' , \mathit t_r)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\, d\tau'
\mathbf A (\mathbf r ,\mathit t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J (\mathbf r' , \mathit t_r)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\, d\tau'

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ L. Lorenz, "On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents." Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
  2. ^ Jackson, Pag. 241
  3. ^ Kirk T. McDonald, The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips in American Journal of Physics, vol. 65, nº 11, 1997, pp. 1074–1076, Bibcode:1997AmJPh..65.1074M, DOI:10.1119/1.18723. and pdf link. URL consultato il 1º giugno 2010..
  4. ^ Jackson, Pag. 240
  5. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 505
  6. ^ See for example U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin-Heidelberg-New York, Springer 2007.
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 506

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) L. Lorenz, On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents Philos. Mag. 34, 287–301, 1867.
  • (EN) J. van Bladel, Lorenz or Lorentz?. IEEE Antennas Prop. Mag. 33, 2, p. 69, April 1991.
  • (EN) R. Becker, Electromagnetic Fields and Interactions, chap. DIII. Dover Publications, New York, 1982.
  • (EN) A. O'Rahilly, Electromagnetics, chap. VI. Longmans, Green and Co, New York, 1938.
  • (EN) R. Nevels, C.-S. Shin, Lorenz, Lorentz, and the gauge, IEEE Antennas Prop. Mag. 43, 3, pp. 70–1, 2001.
  • (EN) E. T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, Vols. 1–2. New York: Dover, p. 268, 1989.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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