Potenziali ritardati

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In elettrodinamica, i potenziali ritardati descrivono i potenziali generalizzati del campo elettromagnetico in un sistema la cui distribuzione di carica e corrente sorgente del campo sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni del potenziale elettrico e magnetico introdotte nel caso in cui non sia possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea, ad esempio quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:[1]

 \psi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} d^3 x_0
\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } d^3 x_0

dove \rho è la densità di carica, \mathbf J è la densità di corrente,  |\mathbf x - \mathbf x_0| la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume dV su cui si effettua l'integrazione e:

t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali:

\quad\nabla^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon _0}
\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Una volta determinati i potenziali \psi e \mathbf A dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:

\mathbf{E}=-\nabla \psi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \qquad \mathbf{B}=\nabla\times \mathbf{A}

e questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:

\quad\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = -\frac{1}{\varepsilon _0}\left( -\nabla \rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} \right)
\quad\nabla^2\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = -\mu_0 \nabla \times \mathbf{J}

la cui soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:[2]

\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac {1} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \left[ -\nabla' \rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} \right]_{t=t_r} d^3 x'
\mathbf{B}(\mathbf{x},t)=\frac {\mu_0}{4 \pi} \int \frac {1} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \left[ \nabla' \times \mathbf{J} \right]_{t=t_r} d^3 x'

La scrittura esplicita dei campi è fornita dalle equazioni di Jefimenko.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione delle onde.

Si vogliono trovare le soluzioni generali dell'equazione delle onde per i potenziali mostrata in precedenza, considerando l'equazione per una sorgente puntiforme posta in  \mathbf x_0 :[3]

 \nabla^2 \phi(\mathbf x, t) - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2}{\partial t^2} \phi(\mathbf x, t) = - S(\mathbf x_0, t)  \delta (\mathbf x - \mathbf x_0)

Grazie alla definizione della delta di Dirac  \delta è dunque possibile descrivere la presenza di una sorgente puntiforme: nel resto dello spazio non vi sono sorgenti, e l'equazione d'onda è non omogenea solo per  \mathbf x = \mathbf x_0 . Scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche l'equazione omogenea diventa:

 {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial \phi \over \partial r} \right) 
- {1 \over c^2} {\partial^2 \phi \over \partial t^2} = 0

e se si effettua la sostituzione:

\phi (r,t) = \frac {\chi (r,t)}{r}

si ha:

{\partial^2 \chi \over \partial r^2} - {1 \over c^2} {\partial^2 \chi \over \partial t^2} = 0

la cui soluzione è quella dell'equazione delle onde omogenea:[4]

\chi(r, t) = f \left(t - {r \over c} \right) + g \left(t + {r \over c}\right)

da cui

\phi (r,t) = \frac {f (t - \frac {r}{c} )}{r}  + \frac {g (t + \frac {r}{c}) }{r}

dove f e g sono due funzioni da dover determinare. Imponendo che le onde siano uscenti dalla sorgente si deve escludere il termine

 g \left(t + \frac {r}{c}\right) \quad .

Questa condizione è dettata dal principio di causalità, e dal fatto che non ha senso parlare di onde che dall'infinito arrivano verso la sorgente. Si ha quindi:[5]

 \phi (r,t) = \frac {f (t - \frac {r}{c} )}{r}

da cui:

 \nabla \phi = - \frac {f (t - \frac {r}{c} )}{r^2} \hat {\mathbf r}   - \frac{1}{c}\frac {f' (t - \frac {r}{c} )}{r} \hat {\mathbf r}

dove f' è la derivata di f rispetto al suo argomento. Integrando ora l'equazione d'onda su un volume sferico di raggio R centrato in  \mathbf x_0 e sostituendo le espressioni trovate sopra per  \phi e  \nabla \phi si ha:

 \int \nabla\cdot \left[ - \frac {f}{r^2} \hat {\mathbf r}  - \frac {1}{c} \frac {f'}{r} \hat {\mathbf r} \right] d^3 x - \frac {1}{c^2} \int \frac {f''}{r} d^3 x = - \int S(\mathbf x_0, t)  \delta (\mathbf x - \mathbf x_0) d^3x

e considerando il limite per R \to 0 il secondo integrale si annulla poiché è minore del massimo dell'integranda sul dominio d'integrazione, moltiplicato la misura del dominio d'integrazione. Sfruttando il teorema della divergenza si calcola quindi il valore del primo integrale:

 \int_V \nabla\cdot \left[ - \frac {f}{r^2} \hat {\mathbf r}  - \frac {1}{c} \frac {f'}{r} \hat {\mathbf r} \right] d^3 x = \int_S \left[ - \frac {f}{r^2}  - \frac {1}{c} \frac {f'}{r}\right] \hat {\mathbf r} \cdot  d \mathbf S' = 4 \pi R^2 \left[ - \frac {f}{R^2}  - \frac {1}{c} \frac {f'}{R}\right]

dove V è il volume della sfera di raggio R ed S la superficie della sfera stessa. Effettuando il limite per R \to 0 si nota che il secondo termine in parentesi si annulla. Considerando quindi l'equazione d'onda integrata, si ottiene la relazione:

 -4 \pi f(t) = - S(\mathbf x_0, t)

da cui:[5]

 f(t) = \frac {S(\mathbf x_0, t)}  {4 \pi}

e sfruttando la relazione:

 \phi(r,t) = \frac {f (t - \frac {r}{c} )}{r}

si ottiene infine la soluzione generale dell'equazione d'onda di partenza, valida per sorgenti puntiformi:

 \phi(r, t) = \frac {S (\mathbf x_0, t - \frac {r}{c} )}{4 \pi r}

Per considerare il caso generale di sorgente non puntiforme, è sufficiente integrare su  \mathbf x_0 la soluzione di cui sopra, ottenendo la soluzione valida per qualunque sorgente:

 \phi(\mathbf x, t)_g = \int \frac {S (\mathbf x_0, t - \frac {| \mathbf x - \mathbf x_0 | }{c} )}{4 \pi | \mathbf x - \mathbf x_0 |} d^3 x_0

Risulta allora sufficiente sostituire rispettivamente a  \phi_g e a  S i potenziali vettore e scalare e le rispettive sorgenti per ottenere le soluzioni generali delle equazioni d'onde per i potenziali:[1]

 \mathbf A (\mathbf x, t) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t - \frac {| \mathbf x - \mathbf x_0 | }{c} )}{| \mathbf x - \mathbf x_0 |} d^3 x_0
 \psi (\mathbf x, t) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t - \frac {| \mathbf x - \mathbf x_0 | }{c} )}{| \mathbf x - \mathbf x_0 |} d^3 x_0

ovvero le espressioni cercate.

L'equazione delle onde ed il gauge di Lorenz[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gauge di Lorenz.

Sostituendo la definizione del potenziale vettore  \mathbf A nella seconda equazione di Maxwell si ottiene:

 \nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf A)

da cui:

 \nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché la quantità tra parentesi ha rotore nullo, può essere espressa come gradiente di un campo scalare, ed in particolare del potenziale scalare \psi :[6]

  \nabla \psi = - (\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} )

ovvero:

 \mathbf E  = - \nabla \psi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Usando ora la relazione:

 \nabla \times (\nabla \times \mathbf F) = \nabla (\nabla  \cdot \mathbf F) - \nabla^2 \mathbf F

dove con  \mathbf F si è indicata una generica grandezza vettoriale, e sostituendo nelle due equazioni di Maxwell:

 \nabla \cdot \mathbf E =  \frac {\rho}{\varepsilon_0}
 \nabla \times \mathbf B - \frac {1 }{c^2} \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac {\mathbf J }{\varepsilon_0 c^2}

si ottengono le seguenti relazioni:

 \nabla^2 \psi + \frac {\partial }{\partial t} \nabla \cdot \mathbf A = - \frac {\rho}{\varepsilon_0}
 \nabla^2 \mathbf  A-  \nabla (\nabla  \cdot \mathbf A)  - \frac {1}{c^2} \frac {\partial}{\partial t} \nabla \psi - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \frac {\mathbf J } {\varepsilon_0 c^2}

dette equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate.[7]

Per semplificare queste equazioni è conveniente ricorrere ad una particolare trasformazione di gauge. Ricordando che il potenziale vettore  \mathbf A è definito a meno di un gradiente, è possibile aggiungere il gradiente di una quantità scalare  \phi facendo rimanere invariato il campo magnetico:

 \mathbf A' = \mathbf A + \nabla \phi

ed affinché anche il campo elettrico rimanga invariato deve inoltre valere:

 \mathbf E  = - \nabla \psi' - \frac {\partial \mathbf A'}{\partial t} = - \nabla \psi' - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} - \frac {\partial}{\partial t} \nabla \phi = - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} - (\nabla \psi' + \frac {\partial}{\partial t} \nabla \phi)

da cui, sfruttando la relazione esistente tra   \mathbf E ,  \psi e  \mathbf A si ottiene:

 \nabla \psi = \nabla \psi' + \frac {\partial}{\partial t} \nabla \phi

che si traduce in:

 \psi' = \psi - \frac {\partial \phi}{\partial t}

Sfruttando l'invarianza di gauge è possibile scegliere  \mathbf A in modo che soddisfi determinate condizioni. In elettrodinamica è frequente la scelta della condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo opportunamente \phi in modo tale che:

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\psi}{\partial t}

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.[8]
Sostituendo nelle due equazioni per i potenziali ricavate in precedenza si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:[9][10]

 \nabla^2 \mathbf A - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \frac {\mathbf J } {\varepsilon_0 c^2}
 \nabla^2 \psi - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \psi}{\partial t^2} = - \frac {\rho}{\varepsilon_0}

nelle quali si riconosce la forma delle equazioni d'onda.

Potenziali di Liénard-Wiechert[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Potenziale di Liénard-Wiechert.

La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:


\varphi(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t  \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \rho(\mathbf{r}', t') d^3r' dt'
\qquad
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t  \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathbf{J}(\mathbf{r}', t') d^3r' dt'

dove \rho(\mathbf{r}, t) e \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) sono i termini sorgente, e:

\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t \right)

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in \mathbf{r}_0(t') con velocità \mathbf{v}_0(t'), le densità di carica e corrente assumono la forma:


\rho(\mathbf{r}', t') = q \delta \big( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t') \big) \qquad \mathbf{J}(\mathbf{r}', t') = q \mathbf{v}_0(t') \delta \big( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0(t') \big)

Se si integra sul volume d^3r', utilizzando la relazione precedente si ottiene:


\varphi(\mathbf{r}, t) = q\int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t')|}{c} - t \right)}{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t')|}  dt' \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = q \int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t')|}{c} - t \right)}{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t')|} \mathbf{v}_0(t') dt'

ed integrando in t' si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert:[11]

\varphi(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{e}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})|\mathbf{x} - \mathbf{r}_0(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} \qquad \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \frac{\mu_0c}{4 \pi} \left(\frac{e \mathbf{\beta}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})|\mathbf{x} - \mathbf{r}_0(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} = \frac{\mathbf{\beta}(\tau = \tau_0)}{c} \varphi(\mathbf{x}, t)

con:

\mathbf{\beta}(t) = \frac{\mathbf{v}_0(t)}{c}

e \tau il tempo proprio. Si tratta di una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico \varphi e del potenziale magnetico \mathbf{A} generati da una sorgente puntiforme di carica in moto.[12] I potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto, e la loro espressione è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert[13] in un modo indipendente da quello di Liénard.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, Pag. 506
  2. ^ Jackson, Pag. 246
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 213
  4. ^ Landau, Lifshits, Pag. 150
  5. ^ a b Landau, Lifshits, Pag. 214
  6. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 503
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 504
  8. ^ Jackson, Pag. 241
  9. ^ Jackson, Pag. 240
  10. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 505
  11. ^ Landau, Lifshits, Pag. 218
  12. ^ Jackson, Pag. 663
  13. ^ Some Aspects in Emil Wiechert

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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