Potenziale di Liénard-Wiechert

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In fisica, i potenziali di Liénard-Wiechert descrivono il campo elettromagnetico generato da una carica elettrica in moto a partire dai potenziali del campo. Costruiti direttamente a partire dalle equazioni di Maxwell, i potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto.

Le espressioni dei potenziali sono state sviluppate in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert[1] in un modo indipendente da quello di Liénard.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il potenziale elettromagnetico A^{\alpha}(x)=(\varphi,\mathbf{A}) generato nel punto x=(x_0,\mathbf{x}) da una sorgente puntiforme di carica in moto e è dato da:[2]

A^{\alpha}(x) = \frac{eV^{\alpha}(\tau=\tau_0)}{V \cdot [x - r(\tau=\tau_0)]} \qquad x_0 > r_0(\tau_0)

dove V^{\alpha}(\tau)={\gamma}( c , \mathbf{v}_s ) è la quadrivelocità della carica, r^\alpha (\tau) = (r_0,\mathbf{r}_s) la sua posizione e \tau il tempo proprio. Nell'equazione la velocità e la posizione vengono valutati al tempo \tau_0, che è definito dalla condizione del cono di luce:

[x-r(\tau_0)]^2=0

Tale condizione implica che:

 x_0-r_0(\tau_0) = | \mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0)|

e pertanto permette di scrivere:

V \cdot(x-r)=\gamma c(x_0-r_0(\tau_0))-\mathbf{v}_s \cdot(\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0))=
=\gamma c | \mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0)| - \gamma \mathbf{v}_s \cdot \mathbf{n} |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0)| = \gamma c |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0)|(1 - \mathbf \beta \cdot \mathbf{n})

con \mathbf{n} vettore unitario che ha la direzione di \mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau).

Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico \varphi e del potenziale magnetico \mathbf{A} generati da una sorgente puntiforme di carica in moto:[3]

\varphi(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{e}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})|\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} \qquad \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \frac{\mu_0c}{4 \pi} \left(\frac{e \mathbf{\beta}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})|\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} = \frac{\mathbf{\beta}(\tau = \tau_0)}{c} \varphi(\mathbf{x}, t)

con:

\mathbf{\beta}(t) = \frac{\mathbf{v}_s(t)}{c}

Espressione dei campi[modifica | modifica sorgente]

A partire dai potenziali è possibile ricavare le espressioni dei campi utilizzando la loro definizione:

\mathbf{E} = - \nabla \varphi - \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

ottenendo per il campo elettrico:

\mathbf{E}(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{q(\mathbf{n} - \mathbf{\beta})}{\gamma^2 (1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|^2} + \frac{q \mathbf{n} \times \big((\mathbf{n} - \mathbf{\beta}) \times \dot{\mathbf{\beta}}\big)}{c(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0}

e per il campo magnetico:[4]

\mathbf{B}(\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left(\frac{q c(\mathbf{\beta} \times \mathbf{n})}{\gamma^2 (1-\mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|^2} + \frac{q \mathbf{n} \times \Big(\mathbf{n} \times \big((\mathbf{n} - \mathbf{\beta}) \times \dot{\mathbf{\beta}}\big) \Big)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} = \frac{\mathbf{n}(\tau = \tau_0)}{c} \times \mathbf{E}(\mathbf{x}, t)

con:

\mathbf{\beta}(t) = \frac{\mathbf{v}_s(t)}{c} \qquad \mathbf{n}(t) = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t)|}\qquad \gamma(t) = \frac{1}{\sqrt{1 - |\mathbf{\beta}(t)|^2}}

dove \gamma è il fattore di Lorentz. il termine \mathbf{n} - \mathbf{\beta} nell'espressione del campo elettrico impone che la direzione del primo termine del campo sia lungo la congiungente con la posizione della carica, mentre il secondo termine, dovuto all'accelerazione della carica, è perpendicolare a \mathbf{n} - \mathbf{\beta}.

L'espressione dei campi è in questo modo data dalla somma di due contributi: il primo è detto campo di Coulomb generalizzato e decresce come il reciproco del quadrato della distanza dalla carica, il secondo è detto campo di radiazione e decresce come il reciproco della distanza dalla sorgente, e quindi è dominante lontano dalla carica. In entrambi i casi il campo di Coulomb generalizzato è relativo alla velocità della carica, mentre il campo di radiazione è generato dall'accelerazione.

Derivazione dall'equazione delle onde[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Potenziali ritardati e Equazione delle onde.

La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:


\varphi(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t  \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \rho(\mathbf{r}', t') d^3r' dt'
\qquad
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t  \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathbf{J}(\mathbf{r}', t') d^3r' dt'

dove \rho(\mathbf{r}, t) e \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) sono i termini sorgente, e:

\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} - t \right)

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in \mathbf{r}_0(t') con velocità \mathbf{v}_0(t'), le densità di carica e corrente assumono la forma:


\rho(\mathbf{r}', t') = q \delta \big( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t') \big) \qquad \mathbf{J}(\mathbf{r}', t') = q \mathbf{v}_0(t') \delta \big( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0(t') \big)

Se si integra sul volume d^3r', utilizzando la relazione precedente si ottiene:


\varphi(\mathbf{r}, t) = q\int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t')|}{c} - t \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t')|}  dt' \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = q \int \frac{\delta \left( t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t')|}{c} - t \right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t')|} \mathbf{v}_0(t') dt'

ed integrando in t' si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert.[5]

Equazione di Larmor[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Larmor.

Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del vettore di Poynting, risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da:[6]

[\mathbf{S\cdot}\hat{\mathbf{n}}]_{\tau = \tau_0} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0 c}\left\{\frac{1}{R^2}\left|\frac{\hat{\mathbf{n}}\times[(\hat{\mathbf{n}}-\vec{\beta})\times\dot{\vec{\beta}}]}{(1-\vec{\beta}\mathbf{\cdot}\hat{\mathbf{n}})^3}\right|^2\right\}

dove il secondo membro, a differenza del primo, non è valutato al tempo ritardato.

La relazione spaziale tra \vec{\beta} e \dot{\vec{\beta}} determina la distribuzione di potenza angolare, ed il fattore (1-\vec{\beta}\mathbf{\cdot}\vec{\mathbf{n}}) al denominatore mostra la presenza degli effetti relativistici nel passaggio dal sistema di riferimento a riposo della particella al sistema di riferimento dell'osservatore.

L'energia irradiata per angolo solido durante un'accelerazione tra gli istanti t'=T_1 e t'=T_2 è data da:

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathit{\Omega}} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0c}\,\frac{|\hat{\mathbf{n}}(t')\times\{[\hat{\mathbf{n}}(t')-\vec{\beta}(t')]\times\dot{\vec{\beta}}(t')\}|^2}{[1-\vec{\beta}(t')\mathbf{\cdot}\vec{\mathbf{n}}(t')]^5}

Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor:[7]

P=\frac{q^2}{6\pi \varepsilon _0 c}\gamma ^6
\left [ \left | \dot{\vec{\beta }} \right |^2
-\left |  \vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta }}\right |^2 \right ]
Distribuzione angolare della radiazione emezza da una carica in moto accelerato. Nell'immagine a destra la velocità della particella si avvicina alla velocità della luce, e l'emissione di radiazione è collimata in un cono appuntito il cui asse è diretto come la velocità.

Radiazione di sincrotrone[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Radiazione di sincrotrone.

Se la carica compie un moto circolare la sua accelerazione \dot{\vec{\beta}} è perpendicolare alla velocità \vec{\beta}. Se si sceglie un sistema di coordinate tale per cui \vec{\beta} è istantaneamente in direzione z e \dot{\vec{\beta}} in direzione x, utilizzando le coordinate polari \theta e \phi per definire la direzione di osservazione, la distribuzione di potenza angolare si riduce alla seguente espressione:[8]

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathit{\Omega}} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0 c}\frac{|\dot{\vec{\beta }}|^2}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{\gamma^2(1-\beta\cos\theta)^2}\right]

Nel limite relativistico per velocità prossime alla velocità della luce, in cui \gamma>>1, la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come:[9]

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathit{\Omega}} \simeq \frac{q^2}{2\pi^2\varepsilon_0 c^3}\gamma^6\frac{|\dot{\mathbf v}|^2}{(1+\gamma^2\theta^2)^3}\left[1-\frac{4\gamma^2\theta^2\cos^2\phi}{(1+\gamma^2\theta^2)^2}\right]

dove i fattori (1-\beta\cos\theta) al denominatore restringono la distribuzione angolare in un fascio di luce conico e sempre più stretto al crescere della velocità, distribuito in un piccolo angolo intorno a \theta=0.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Some Aspects in Emil Wiechert
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 662
  3. ^ Jackson, op. cit., Pag. 663
  4. ^ Jackson, op. cit., Pag. 664
  5. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 218
  6. ^ Jackson, op. cit., Pag. 668
  7. ^ Jackson, op. cit., Pag. 666
  8. ^ Jackson, op. cit., Pag. 670
  9. ^ Jackson, op. cit., Pag. 671

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

fisica Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica