Tempo proprio

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La linea blu verticale rappresenta un osservatore inerziale che misura un intervallo di tempo t tra due eventi E1 e E2. La curva rossa rappresenta un orologio che misura il tempo τ trascorso nel suo sistema di riferimento tra gli stessi eventi.

In fisica, il tempo proprio è il tempo misurato in un sistema di riferimento solidale con il fenomeno di cui si misura la durata. Tale concetto fu introdotto nel 1908 da Hermann Minkowski,[1] e si tratta dell'analogo spaziotemporale della lunghezza di un arco nello spazio euclideo tridimensionale. Il tempo proprio consente di parametrizzare il tempo misurato da un osservatore fermo rispetto ad un altro osservatore in moto, ed è informalmente definito come il tempo trascorso due eventi misurato da un orologio che passa attraverso entrambi.

La necessità di utilizzare una tale grandezza è sorta in seguito alla nascita della teoria della relatività, in cui la misura di un intervallo temporale in un sistema di riferimento in moto accelerato è minore della stessa misura compiuta a sistema fermo. Il paradosso dei gemelli è un tipico esempio di questo effetto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un orologio che si muove con velocità costante ed un sistema di riferimento cartesiano (inerziale) solidale con esso. Rispetto ad un secondo sistema di riferimento a riposo, in un tempo dt l'orologio compie un percorso la cui lunghezza è data da \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}, dove dx, dy e dz sono variazioni infinitesime della posizione dell'orologio nel sistema fermo. Poiché in relatività speciale l'intervallo spazio-temporale che resta invariato tra due sistemi in moto relativo uniforme è dato da:

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2 d\tau^2

dove d\tau è l'intervallo temporale nel sistema in moto, l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto è dato dall'integrale di ds / c lungo la sua linea di universo. Tale integrale è massimo se la linea di universo interessata è una retta. Dalla precedente relazione si ricava:

d\tau = dt\sqrt{1 - \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2dt^2}} = dt\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

dove:

v^2 = \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{dt^2}

è la velocità del sistema in moto. Si ha pertanto:

d\tau = \frac{ds}{c} = dt\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \qquad {\tau}_2 - {\tau}_1 = \int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

Il tempo proprio \tau misurato dall'orologio in moto è definito per una velocità arbitraria nel seguente modo:[2]

\tau  
= \int \frac{dt}{\gamma} 
= \int \sqrt {1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} \, dt 
= \int \sqrt {1 - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{dt}\right)^2 \right] } \,dt

dove v(t) è la velocità al tempo t, mentre x, y e z sono le coordinate spaziali.

Se il tempo e le coordinate spaziali sono parametrizzate da \lambda, si può scrivere:

\tau  
= \int \sqrt {\left (\frac{dt}{d\lambda}\right)^2  - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 + \left (\frac{dy}{d\lambda}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{d\lambda}\right)^2 \right] } \,d\lambda

In forma differenziale tale espressione diventa un integrale di linea:

\tau = \int_P \sqrt {dt^2 - {dx^2 \over c^2} - {dy^2 \over c^2} - {dz^2 \over c^2}}

dove P è il cammino seguito dall'orologio nel sistema di riferimento.

La quantità ds = cd\tau è così invariate in seguito ad una trasformazione di Lorentz. Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato ds^2 è il gruppo di Lorentz.[3]

Relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

La teoria della relatività generale consente di generalizzare i risultati della relatività ristretta utilizzando il formalismo tensoriale. Si consideri uno spaziotempo descritto da una varietà pseudo-riemanniana, caratterizzata da un tensore metrico g_{\mu\nu}, nella quale è definito un sistema di coordinate x^\mu. L'intervallo ds tra due eventi distanti dx^\mu è dato da:

ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu

dove s può essere di genere spazio, di genere tempo o di genere luce a seconda che s^2 sia rispettivamente minore, uguale o maggiore di zero. Nel primo caso l'intervallo non può essere attraversato poiché richiederebbe una velocità superiore alla velocità della luce c, nel secondo caso la velocità necessaria è esattamente c e la conversione al tempo proprio è banale, nel terzo caso è consentito l'attraversamento di oggetti massivi. Considerando la radice quadrata di entrambi i membri dell'elemento di linea si ha che il tempo proprio \tau misurato dall'orologio in moto lungo un cammino di genere tempo P è dato dall'integrale di linea:

\tau = \int_P \, d\tau

dove:

 d\tau = \sqrt{dx_\mu \; dx^\mu} = \sqrt{g_{\mu\nu} \; dx^\mu \; dx^\nu}

in cui si è usata la notazione di Einstein.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Quadrivelocità.

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate x^i(t), con  i \in \{1,2,3\}, espresse in funzione del tempo t:


\mathbf{x} = x^i(t) = 
\begin{bmatrix}
x^1(t) \\ x^2(t) \\ x^3(t) \\
\end{bmatrix}

dove x^i(t) è l'i-esima componente della posizione al tempo t. Le componenti della velocità {\mathbf{u}} nel punto p tangente alla traiettoria sono:

{\mathbf{u}} = (u^1,u^2,u^3) = {\mathrm{d} \mathbf{x} \over \mathrm{d}t}  = {\mathrm{d}x^i \over \mathrm{d}t}  =
\left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t}\;,\frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t}\;,\frac{\mathrm{d}x^3}{\mathrm{d}t}\right)

dove le derivate sono valutate in p.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono x^{\mu}(\tau), con  \mu \in \{0,1,2,3\}, in cui x^{0} è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio \tau:


x^{\mu}(\tau) = 
\begin{bmatrix}
x^0(\tau)\\ x^1(\tau) \\ x^2(\tau) \\ x^3(\tau) \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
ct \\ x^1(t) \\ x^2(t) \\ x^3(t) \\
\end{bmatrix}

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

t = \gamma \tau \,

la quadrivelocità relativa a \mathbf{x}(\tau) è definita come:

U^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu(\tau)}{\mathrm{d} \tau}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hermann Minkowski, Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern in Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, 1908, pp. 53–111.
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 528
  3. ^ Jackson, op. cit., Pag. 527

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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