Gruppo di Lorentz

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In matematica e relatività speciale il gruppo di Lorentz è un gruppo costituito dall'insieme di tutte le trasformazioni di Lorentz. Si tratta di un sottogruppo del gruppo di Poincarè, il quale include anche le traslazioni del sistema di riferimento.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo di Poincarè è il gruppo formato dalle isometrie dello spazio di Minkowski, ovvero l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato l'intervallo:

ds^2(x,y) = (x_0 - y_0)^2 - (x_1 - y_1)^2 - (x_2 - y_2)^2 - (x_3 - y_3)^2

Il gruppo di Lorentz è definito come il gruppo ortogonale generalizzato O(1,3), ovvero il gruppo di Lie che su \R^4 conserva la forma quadratica:[1]

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \

Il gruppo di Lorentz è pertanto il sottogruppo del gruppo di Poincarè formato dalle isometrie che lasciano l'origine del sistema di riferimento fissata. Per tale motivo è anche detto gruppo di Lorentz omogeneo, mentre il gruppo di Poincarè è talvolta detto gruppo di Lorentz non omogeneo.

Le quantità che si conservano in seguito alle trasformazioni del gruppo di Lorentz sono dette covarianti. Le equazioni che descrivono i fenomeni naturali sono covarianti.[2]

Trasformazioni di Lorentz[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformazione di Lorentz.

Nella configurazione detta configurazione standard si assume che S' abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di S, che il sistema S' si muova con velocità \mathbf{v} lungo l'asse x di S e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per t'=t=0. In tale contesto le trasformazioni di Lorentz assumono la forma:[3]


\begin{cases}
t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \\
x' = \gamma \left(x - v t \right) \\
y' = y \\
z' = z
\end{cases}

dove:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

è chiamato fattore di Lorentz, mentre c è la velocità della luce nel vuoto. Introducendo il quadrivettore:

x^\mu = \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}

le quattro equazioni riportate sopra possono essere espresse attraverso una relazione matriciale:


x'^\lambda = \Lambda^\lambda{}_\mu x^\mu

dove \Lambda è la matrice di trasformazione relativa alle trasformazioni in configurazione standard lungo x:


\begin{bmatrix}
c t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\
-\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}

Le trasformazioni \Lambda con \det (\Lambda ^a{}_b) \, = + 1 apparetengono al gruppo proprio di Lorentz, che è formato dai boosts e dalle rotazioni spaziali, mentre quelle con \det (\Lambda ^a{}_b) \, = - 1 sono dette trasformazioni improprie di Lorentz, e non formano un gruppo. Queste ultime includono riflessioni spaziali e/o temporali tali da alterare la parità del sistema dei quattro assi di riferimento. Nel programma di Erlangen, lo spazio di Minkowski può essere visto come la geometria definita dal gruppo di Poincarè che combina le trasformazioni di Lorentz con le traslazioni.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Jackson, op. cit., Pag. 527
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 540
  3. ^ Jackson, op. cit., Pag. 525

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X.
  • Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957. ISBN 0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
  • (EN) Carmeli, Moshe, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977. ISBN 0-07-009986-3. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
  • (EN) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-53927-7. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
  • (EN) Hall, G. S., Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004. ISBN 981-02-1051-5. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
  • (EN) Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0. See also the online version. URL consultato il 3 luglio. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
  • (EN) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition). An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
  • (EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-853446-9. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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