Sistema di riferimento

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Si definisce sistema di riferimento, l'insieme dei riferimenti utilizzati per individuare la posizione di un oggetto nello spazio. A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di:

Sistema di riferimento monodimensionale
Sistemi di riferimento bidimensionale
Sistemi di riferimento tridimensionale (3D)

Indice

1 Il sistema di riferimento monodimensionale
2 Sistemi di riferimento bidimensionali
- 2.1 Il sistema cartesiano
- 2.2 Il sistema polare
3 Sistemi di riferimento tridimensionale
4 Voci correlate

[modifica] Il sistema di riferimento monodimensionale

Il sistema di riferimento monodimensionale ideato da Cartesio è costituito da una retta, sulla quale un oggetto, di solito un punto, è vincolato a muoversi. Su questa retta si fissa un'origine, che è consuetudine indicare con O, un verso di percorrenza ed un'unità di misura delle lunghezze. È possibile individuare un punto sulla retta in base ad un numero reale, che individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, positiva se concorde con il verso di percorrenza scelto e negativa altrimenti, del punto. Tale numero è detto coordinata, e per indicare genericamente tale coordinata si usa la lettera x. La retta su cui si è fissato origine, verso di percorrenza e unità di misura è detta ascissa.

Quando un punto, anziché su una retta, è vincolato a muoversi su una curva è possibile scegliere anche su quest'ultima un'origine, un verso di percorrenza ed un'unità di misura, ma in tal caso si parlerà di ascissa curvilinea. La distanza con segno del punto dall'origine è la coordinata curvilinea del punto.

[modifica] Sistemi di riferimento bidimensionali

[modifica] Il sistema cartesiano

Per approfondire, vedi la voce Sistema di riferimento cartesiano.

Uno dei sistemi di riferimento bidimensionale è costituito da una coppia di rette incidenti. Tali rette sono indicate, in genere, con X e Y, ed il loro punto di intersezione è l'origine per entrambe le rette. Su ciascuna retta si fissa un verso di percorrenza ed un'unità di misura che in genere è uguale per entrambe le rette, ma per esigenze particolari può benissimo essere diversa per ciascuna retta. La posizione di un punto vincolato a muoversi su un piano può essere individuata da una coppia di valori reali, genericamente indicati con le lettere x e y. Si indica con x il numero reale che individua la distanza dall'asse Y del punto, misurata parallelamente all'asse X nell'unità di misura scelta per quest'ultimo; con y il numero reale che individua la distanza dall'asse X del punto, misurata parallelamente all'asse Y nell'unità di misura scelta per quest'ultimo. La coppia di coordinate che individua il punto si indica scrivendo (x,y) oppure $\langle x,y, \rangle$ .

Quando gli assi X e Y sono fra loro ortogonali tale sistema di riferimento si dice ortogonale, ortonormale o cartesiano, in onore del matematico francese Cartesio che per primo lo introdusse. In tal caso l'asse X, orizzontale, prende il nome di ascissa, e l'asse Y, verticale, prende il nome di ordinata. Negli altri casi si parla di sistema di riferimento cartesiano non ortogonale.

[modifica] Il sistema polare

Per approfondire, vedi la voce sistema di coordinate polari.

Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate indicate con le lettere ρ e φ. Con ρ si indica la distanza del punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se consideriamo il vettore $\vec \rho$ che congiunge l'origine degli assi con il nostro punto, ρ ne indica il modulo. Con φ, invece, ci si riferisce all'angolo che si forma tra il vettore $\vec \rho$ considerato prima, e il verso positivo dell'asse X di un normale sistema ortogonale. Dunque, $ρ$ è il raggio e $φ$ un angolo orientato.

Per passare dalle coordinate polari alle cartesiane si usano le seguenti formule:

$x = \rho \cos \phi\,\!$

$y = \rho \sin \phi\,\!$

e per passare da quelle cartesiane a quelle polari

$\rho = \sqrt{ x^2 + y^2} = \sqrt {\rho^2 [sen^2(\phi) + cos^2(\phi)] }$

$\phi\ = \arcsin \left( \frac{y}{ \rho\ } \right) = \arccos \left( \frac{x}{ \rho\ } \right)$

Si può trovare in molti casi la coordinata ρ denotata con la lettera r. Questo passaggio di coordinate è molto utile in alcune applicazioni della matematica come nella risoluzione degli integrali multipli su domini costituiti da corone circolari.

[modifica] Sistemi di riferimento tridimensionale

[modifica] Il sistema rettangolare (o cartesiano)

Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette non coincidenti passanti per un punto che è l'origine delle rette. Per ciascuna di tali rette, in genere indicate con X, Y e Z, si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere x, y e z. Si indica con x il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette Y e Z misurata parallelamente all'asse X nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente y e z. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia (x,y,z). Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice ortogonale o rettangolare.

Ciascuna delle tre rette è un asse cartesiano, e insieme formano la terna cartesiana.

[modifica] Il sistema cilindrico

Il sistema cilindrico è la naturale espansione del sistema polare nelle tre dimensioni. In questo caso le coordinate sono ρ, φ e z. Considerando un generico punto P, e la sua proiezione Q sul piano XY, la coordinata z indica la distanza PQ. Con ρ si denota la distanza dall'origine del punto Q, mentre φ individua l'angolo che si forma tra il vettore $\vec \rho$ e l'asse X.

Per passare dal sistema cilindrico a quello rettangolare:

$x = \rho \ \cos \phi$

$y = \rho \ \sin \phi$

$z = z \$

e per passare alle coordinate cilindriche:

$\rho\ = \sqrt{ x^2 +y^2}$

$\phi\ = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) = \arcsin \left( \frac{y}{ \sqrt{ x^2 +y^2} } \right) = \arccos \left( \frac{x}{ \sqrt{ x^2 +y^2} } \right)$

$z = z \$

Molto spesso la coordinata ρ viene indicata con R.

[modifica] Il sistema sferico

Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: ρ, θ e φ. Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che $\vec \rho$ forma con l'asse Z. Indichiamo invece con $\vec \rho \ '$ il vettore che collega l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X.