Quadrivelocità

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In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è la medesima costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:[1]

v^\mu = \gamma \left( c, \mathbf{v} \right)

dove \gamma è il fattore di Lorentz:

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\| \mathbf{v} \|^2}{c^2}}}

con \| \mathbf{v} \| la norma euclidea della velocità classica \mathbf{v}.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate x_i(t), con  i \in \{1,2,3\}, espresse in funzione del tempo t:


\mathbf{x} = \left( x_i(t) \right) = 
\begin{bmatrix}
x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\
\end{bmatrix}

dove x_i(t) è l'i-esima componente della posizione al tempo t. Le componenti della velocità {\mathbf{v}} nel punto p tangente alla traiettoria sono:

{\mathbf{v}} = {\mathrm{d} \mathbf{x} \over \mathrm{d}t}  = \left( {\mathrm{d}x_i \over \mathrm{d}t} \right)  =
\left(\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}\;,\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}\;,\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d}t}\right)

dove le derivate sono valutate in p.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono x^{\mu}(\tau), con  \mu \in \{0,1,2,3\}, in cui x_0 è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio \tau:


x^{\mu}(\tau) = 
\begin{bmatrix}
x_0(\tau)\\ x_1(\tau) \\ x_2(\tau) \\ x_3(\tau) \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
ct \\ x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\
\end{bmatrix}

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

t = \gamma \tau \,

la quadrivelocità relativa a \mathbf{x}(\tau) è definita come:

v^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu(\tau)}{\mathrm{d} \tau}

Componenti[modifica | modifica wikitesto]

La relazione tra t e x_0 è data da:

 x_0 = ct = c \gamma \tau \,

La derivata rispetto al tempo proprio  \tau \, si ottiene la componente v^\mu per \mu =0:

v_0 = \frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}\tau\;} = c \gamma

Utilizzando la regola della catena, per \mu = i = 1, 2, 3 si ha:

v_i = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}\tau} = 
\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0} \frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}\tau} = 
\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0} c\gamma = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}(ct)} c\gamma = 
{1 \over c} \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} c\gamma  =  \gamma \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}  = \gamma v_i

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

 v_i = {dx_i \over dt }

La quadrivelocità è pertanto:

 v^\mu = \gamma \left( c, \mathbf v \right)

Norma[modifica | modifica wikitesto]

In un sistema a riposo \gamma = 1 e \mathbf v = 0, pertanto v^\mu = (c,0,0,0) e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

v_\mu v^\mu = c^2

se la segnatura della metrica di Minkowski è (-1,1,1,1):

v_\mu v^\mu = -c^2

e inoltre:

 \| v^\mu \| =  \sqrt{ | v_\mu v^\mu | } =  c

La norma della quadrivelocità di un oggetto a riposo è dunque pari alla velocità della luce.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 532

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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