Quadrivelocità

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è la medesima costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

Definizione

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce $c$, e cambia solo la direzione.

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:

$v^\mu = \gamma \left( c, \mathbf{v} \right)$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\| \mathbf{v} \|^2}{c^2}}}$

con $\| \mathbf{v} \|$ la norma euclidea della velocità classica $\mathbf{v}$.

Derivazione

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate $x_i(t)$, con $i \in \{1,2,3\}$, espresse in funzione del tempo $t$:

$\mathbf{x} = \left( x_i(t) \right) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ \end{bmatrix}$

dove $x_i(t)$ è l'i-esima componente della posizione al tempo $t$. Le componenti della velocità ${\mathbf{v}}$ nel punto $p$ tangente alla traiettoria sono:

${\mathbf{v}} = {\mathrm{d} \mathbf{x} \over \mathrm{d}t} = \left( {\mathrm{d}x_i \over \mathrm{d}t} \right) = \left(\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}\;,\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}\;,\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d}t}\right)$

dove le derivate sono valutate in $p$.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono $x^{\mu}(\tau)$, con $\mu \in \{0,1,2,3\}$, in cui $x_0$ è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio $\tau$:

$x^{\mu}(\tau) = \begin{bmatrix} x_0(\tau)\\ x_1(\tau) \\ x_2(\tau) \\ x_3(\tau) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ct \\ x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ \end{bmatrix}$

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

$t = \gamma \tau \,$

la quadrivelocità relativa a $\mathbf{x}(\tau)$ è definita come:

$v^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu(\tau)}{\mathrm{d} \tau}$

Componenti

La relazione tra $t$ e $x_0$ è data da:

$x_0 = ct = c \gamma \tau \,$

La derivata rispetto al tempo proprio $\tau \,$ si ottiene la componente $v^\mu$ per $\mu =0$:

$v_0 = \frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}\tau\;} = c \gamma$

Utilizzando la regola della catena, per $\mu = i = 1, 2, 3$ si ha:

$v_i = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0} \frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0} c\gamma = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}(ct)} c\gamma = {1 \over c} \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} c\gamma = \gamma \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = \gamma v_i$

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

$v_i = {dx_i \over dt }$

La quadrivelocità è pertanto:

$v^\mu = \gamma \left( c, \mathbf v \right)$

Norma

In un sistema a riposo $\gamma = 1$ e $\mathbf v = 0$, pertanto $v^\mu = (c,0,0,0)$ e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

$v_\mu v^\mu = -c^2$

se la segnatura della metrica di Minkowski è $(-1,1,1,1)$:

$v_\mu v^\mu = +c^2$

e inoltre:

$\| v^\mu \| = \sqrt{ | v_\mu v^\mu | } = c$

La norma della quadrivelocità di un oggetto a riposo è dunque pari alla velocità della luce.

Bibliografia

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X

Voci correlate

• Composizione delle velocità
• Dilatazione del tempo
• Quadriaccelerazione
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski

Portale Relatività: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di relatività