Composizione delle velocità

In fisica, la composizione delle velocità è un insieme di equazioni che descrivono il legame tra le velocità di un oggetto in due sistemi di riferimento diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro. Nella teoria della relatività ristretta esse tengono conto, in particolare, dell'insuperabilità della velocità della luce e della sua costanza indipendentemente dal sistema di riferimento inerziale scelto.

Composizione galileiana delle velocità

Per approfondire, vedi Relatività galileiana e Trasformazione galileiana.

Nell'ambito della relatività galileiana, in cui si suppone che le velocità in gioco siano molto minori della velocità della luce, se un sistema di riferimento inerziale si muove con velocità $\mathbf v$ rispetto ad un secondo sistema, supposto fermo, un oggetto che si muove con velocità $\mathbf u$ nel sistema di riferimento in quiete possiede, nel sistema in moto, una velocità $\mathbf s$ data da:

$\mathbf s = \mathbf v + \mathbf u \$

Composizione relativistica delle velocità

La somma relativistica di due velocità $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ è data da:

$\mathbf{w}=\mathbf{v} \oplus\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}+\mathbf{u}_{\parallel} + \alpha_{\mathbf{v}}\mathbf{u}_{\perp}}{1+\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{c^2}},$

dove $\mathbf{u}_{\parallel}$ e $\mathbf{u}_{\perp}$ sono le componenti di $\mathbf{u}$ parallele e perpendicolari a $\mathbf{v}$, mentre:

$\alpha_{\mathbf{v}} = {\sqrt{1-\frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}}$

è il reciproco del fattore $\gamma_\mathbf{v}$. Scrivendo:

$\, {\mathbf{u}}_{||} ={\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \over |\mathbf{v} |^2 } \mathbf{v} \qquad\qquad {\mathbf{u}}_{\perp} = \mathbf{u} - {\mathbf{u}}_{||}$

l'equazione assume la forma:

$\mathbf{w}=\mathbf{v}\oplus \mathbf{u}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}\left\{\mathbf{v}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{v}}\mathbf{u}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{v}}{1+\gamma_\mathbf{v}}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})\mathbf{v}\right\}$

Esplicitando le coordinate:

$\begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{1+\frac{v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3}{c^2}}\left\{\left[1+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{v}}{1+\gamma_\mathbf{v}}(v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3)\right]\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{pmatrix}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{v}}\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\\ \end{pmatrix}\right\}$

con:

$\gamma_\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_1^2+v_2^2+v_3^2}{c^2}}}$

L'addizione delle velocità è inoltre commutativa solo se $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ sono parallele, infatti:

$\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}=gyr[\mathbf{u},\mathbf{v}](\mathbf{v} \oplus \mathbf{u})$

e si ha:

$\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus gyr[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}$

dove gyr è un operatore che rappresenta l'astrazione matematica della precessione di Thomas, ed è dato da:

$gyr[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w})) \quad \forall \mathbf{w}$

Se si considerano due sistemi $K$ e $K'$ con gli assi allineati e in moto relativo rettilineo uniforme lungo l'asse x con velocità $\mathbf{v}=(v_x,0,0)$, detta velocità di trascinamento, per un oggetto che si muove con velocità $\mathbf{u}$ si ha che $\mathbf{u}$ e la velocità di trascinamento $\mathbf{v}$ di $K'$ rispetto a $K$ si compongono per dare una velocità rispetto a $K'$ secondo le seguenti formule:

$\begin{cases} {u'_x}=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\ {u'_y}=\frac{u_y}{\gamma (1-\frac{vu_x}{c^2})}\,\\ {u'_z}=\frac{u_z}{\gamma (1-\frac{vu_x}{c^2})} \end{cases}$

Queste trasformazioni si generalizzano immediatamente al caso di velocità di trascinamento qualsiasi e assi non allineati tramite isometrie spaziali (traslazioni e rotazioni).

Derivazione dalle trasformazioni di Lorentz

Per approfondire, vedi Trasformazione di Lorentz.

Passando da un sistema inerziale S ad un altro sistema inerziale S* con velocità relativa $\mathbf v$ rispetto al primo, il quadrivettore posizione si modifica come segue:

$\begin{cases} t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \\ x' = \gamma \left(x - v t \right) \\ y' = y \\ z' = z \end{cases}$

Differenziando:

$\begin{cases} dt' = \gamma \left(dt - \frac{v}{c^{2}}dx \right) \\ dx' = \gamma \left(dx - v dt \right) \\ dy' = dy \\ dz' = dz \end{cases}$

Infine, tenendo conto della definizione di velocità, si ha:

$\begin{cases} {u'_x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma (dx-vdt)}{\gamma (dt-\frac{v}{c^2}dx)}=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\ {u'_y}=\frac{dy'}{dt'}=\frac{dy}{\gamma (dt-\frac{v}{c^2}dx)}=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\ {u'_z}=\frac{dz'}{dt'}=\frac{dz}{\gamma (dt-\frac{v}{c^2}dx)}=\frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x}{c^2}} \end{cases}$

Rapidità

Un secondo metodo per calcolare la composizione relativistica delle velocità, basato sulle proprietà geometriche dello spazio di Minkowski, si ottiene definendo un fattore rapidità, correlato alla velocità $v$ dalla relazione:

$\eta=\operatorname{settanh} \frac{v}{c}$

Detta:

$\vartheta=\operatorname{settanh}\frac{u}{c}$

la rapidità di una seconda particella in moto a velocità $u$ rispetto allo stesso sistema di riferimento, allora la rapidità relativa delle due particelle è:

$\eta^{*}=\eta +\vartheta$

da cui si ricava la velocità relativa:

$v^{*}=c\tanh\eta ^{*}$

Esempio

Sia dato un sistema di riferimento inerziale S. Due astronauti A e B viaggiano lungo l'asse x con velocità $v_A=\frac{2}{3}c$ e $v_B=-\frac{2}{3}c$, cioè opposte e uguali in modulo. Qual è la velocità dell'astronauta A visto nel sistema di riferimento S* solidale con l'astronauta B?

Applicando le trasformazioni sovrastanti si ha:

$\begin{cases} {u'_x}=\frac{\frac{2}{3}c-(-\frac{2}{3}c)}{1-\frac{1}{c^2}{(-\frac{2}{3}c)(\frac{2}{3}c)}}=\frac{\frac{4}{3}c}{\frac{13}{9}}=\frac{12}{13}c\,\\ {u'_y}=0\,\\ {u'_z}=0\end{cases}$

Notare che il modulo della nuova velocità $\mathbf u'$ è minore di c, come prevede la relatività ristretta.

Bibliografia

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• Einstein, Albert (1961). Relativity: The Special and the General Theory (Three Rivers Press).
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• Lorentz, Hendrik Antoon (1909). The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat; a course of lectures delivered in Columbia university, New York, in March and April 1906 (B.G. Teubner ; G.E. Stechert).
• Poincaré, Henri (1905). Sur la dynamique de l'électron. Comptes Rendues 140: 1504–1508.
• Thornton, Stephen T. (2004). Classical dynamics of particles and systems (Brooks/Cole): 546–579.
• Voigt, Woldemar (1887). Über das Doppler'sche princip. Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen 2: 41–51.

Collegamenti esterni

• Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity - a chapter from an online textbook
• Special Relativity: The Lorentz Transformation, The Velocity Addition Law on Project PHYSNET
• Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Animation clip visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.

Voci correlate

• Elettromagnetismo
• Gruppo di Lorentz
• Teoria della relatività
• Trasformazione di Lorentz
• Trasformazione galileiana
• Trasformazione ortogonale

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