Trasformazione galileiana

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In fisica, una trasformazione galileiana è un insieme di leggi che descrivono il legame tra le coordinate di un oggetto in due sistemi di riferimento cartesiani diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro, nell'ipotesi che le velocità in gioco siano molto inferiori alla velocità della luce.

Posizione relativa[modifica | modifica sorgente]

La relazione fra le due misure sarà:

P_1 = P_2 + P_{1-2}

E quindi entrambi, utilizzando le proprie misure, sono in grado di calcolare che cosa ha misurato l’altro. Al limite, basta che uno dei due effettui le misure e le trasmetta all’altro per i suoi calcoli. Se gli osservatori determinano la posizione di P in tempi successivi allora sono in grado di determinare il vettore posizione di P in funzione del tempo, e quindi:

P_1(t) = P_2(t) + P_{1-2}(t)

Trasformazione galileiana posizione.png

Velocità[modifica | modifica sorgente]

Gli osservatori possono pure calcolare la velocità e l’accelerazione di P mentre si sposta lungo la sua traiettoria. L’osservatore O_1 vede l’altro osservatore muoversi con velocità v, mentre O_2 vede O_1 muoversi con velocità -v. Entrambi determinano la posizione del punto P in tempi successivi t’ e t”.

Gli spostamenti misurati dai due osservatori nel medesimo intervallo di tempo sono diversi, quindi anche le velocità di P risultano diverse tuttavia i due osservatori possono convertire nel proprio sistema di riferimento le velocità misurate dall’altro osservatore, a patto di conoscere la velocità con la quale questo si muove.

In pratica si verifica la relazione:

v_1(t) = v_2(t) + v_{1-2}(t)

Tutto questo funziona soltanto se è possibile effettuare misure contemporanee.

Accelerazione[modifica | modifica sorgente]

Se i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro si avrà:

a_1(t) = a_2(t)

se, invece, si trovano in moto accelerato l’uno rispetto all’altro, le accelerazioni viste dai due sono allora diverse il che richiede una formula di conversione.

a_1(t) = a_2(t) + a_{1-2}(t)

Trasformazioni[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo i due osservatori in moto relativo rettilineo uniforme uno rispetto all'altro.

I due osservatori sono stati disposti sul piano in maniera del tutto arbitraria. Per estendere tale situazione allo spazio tridimensionale conviene allineare gli osservatori facendo coincidere i piani definiti dai loro assi x e y ed allineando gli assi x nella direzione del moto. Questo è possibile perché lo spazio euclideo è omogeneo e isotropo quindi consente traslazioni lungo i tre assi e rotazioni sui tre piani coordinati.

Trasformazione galileiana.png

Si vede immediatamente che le trasformazioni per passare da un osservatore all’altro sono:

x = x' + v_0t
y = y'
z = z'
t = t'

dette trasformazioni galileiane. In pratica su una dimensione si aggiunge il moto uniforme. Per il secondo osservatore le trasformazioni diventano:

x'  = x - v_0t
y'  = y
z'  = z
t'  = t

Si possono scrivere anche come prodotto di una matrice per un vettore in quanto sistemi di equazioni lineari:

\begin{bmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -v_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}

Ciò conferma che le trasformazioni galileiane sono delle simmetrie di traslazione nello spazio.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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