Moto rettilineo

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In cinematica il moto rettilineo è il più semplice moto che è possibile studiare. Nel moto rettilineo il corpo (approssimato da un punto materiale) può muoversi esclusivamente lungo una retta: un esempio intuitivo è quello di una macchina che viaggia lungo una strada dritta.

In generale l'insieme delle posizioni \vec s che il corpo può assumere nello spazio (tridimensionale euclideo) se si muove di moto rettilineo è dato, vettorialmente, da:

\vec s= \vec c + \alpha \hat k \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}

dove \hat k è il vettore che identifica la direzione lungo cui si muove il corpo. Nella pratica raramente si usa questa relazione perché con un semplice cambio di sistema di riferimento (una traslazione e una rotazione degli assi) è possibile far coincidere \hat k con uno dei nuovi assi (per esempio l'asse x): la posizione del corpo sarà quindi identificata univocamente dalla coordinata relativa a questo asse, cioè da un numero. Così facendo la legge oraria è una funzione scalare, come di seguito, facendo coincidere il versore \hat k con il versore \hat{\imath} dell'asse x:

 \vec s= x \hat{\imath}

con

x=x(t) (legge oraria)

In queste ultime formule è racchiusa tutta la caratterizzazione del moto: conoscendo il numero x(t) in ogni istante so dove si trova il corpo, la cui posizione è data dal vettore \vec s.

I più importanti sottocasi del moto rettilineo sono il moto rettilineo uniforme e il moto rettilineo uniformemente accelerato.

Moto rettilineo uniforme[modifica | modifica sorgente]

Un corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se mantiene una velocità costante in modulo, direzione e verso. Più in generale si dice che il corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se nel percorrere una traiettoria rettilinea copre spazi uguali in tempi uguali. Siano:

  •  \vec s lo spazio;
  •  \vec v la velocità;
  •  t il tempo,

ed indicando con  \Delta l'incremento, si ha:[1]

 \Delta \vec s = \vec v \cdot \Delta t

Esplicitando la velocità, otteniamo l'espressione classica:

 \vec v =  \frac {\Delta \vec s}{\Delta t}

Nel SI la velocità si misura in  [m] \over [s].

Espressione in termini differenziali[modifica | modifica sorgente]

Considerando gli intervalli di variazione infinitesimi (ovvero in termini differenziali), si ottiene l'espressione:

 \mathrm{d} \vec s = \vec v \cdot \mathrm{d}t

Integrando a primo e secondo membro:

\int_{t_0} ^t \mathrm{d} \vec s = \int_{t_0} ^t \vec v \cdot \mathrm{d}t

da cui:[2]

\vec s(t) =\vec s(t_0) + \vec v \cdot (t-t_0)

dove:

  • t_0 è l'istante iniziale;
  • s(t_0) è lo spazio rispetto a un punto di riferimento all'istante iniziale t_0;
  • t è l'istante in cui si osserva il fenomeno.

Quest'ultima relazione è nota come legge oraria del moto rettilineo ed uniforme; essa infatti esplicita la posizione del corpo in ogni istante.

Rappresentazione geometrica[modifica | modifica sorgente]

  • Se la velocità è costante nel tempo, allora il diagramma cartesiano velocità/tempo sarà una retta parallela all'asse delle ascisse.
  • Lo spazio invece, dalla definizione discendente dalla legge oraria, altro non è che una retta. Il diagramma cartesiano spazio/tempo è allora una retta che taglia le ordinate in s_o ed avente coefficiente angolare pari alla velocità.

Lo spazio (se il moto è rappresentato graficamente) equivale all'area del rettangolo avente come base il tempo e come altezza la velocità quindi possiamo affermare che s = v × t

Moto rettilineo uniformemente accelerato[modifica | modifica sorgente]

La legge oraria del moto nel grafico t vs. x ha la rappresentazione grafica di una funzione di secondo grado, la velocità ha la rappresentazione grafica di una retta passante per l'origine mentre l'accelerazione è una retta parallela all'asse temporale in quanto è costante.

In cinematica il moto uniformemente accelerato è il moto di un punto sottoposto ad un'accelerazione costante in modulo, direzione e verso. Ne risulta che la variazione di velocità del punto è direttamente proporzionale al tempo in cui essa avviene.

Si ha quindi:[1]

\vec a = \frac {\Delta \vec v}{\Delta t} = costante

dove \vec v è la velocità, \vec a l'accelerazione, t il tempo e \Delta le variazioni finite di tempo e di velocità.

Espressione in termini differenziali[modifica | modifica sorgente]

Qualora si consideri infinitesimo l'intervallo di tempo, la relazione diventa:

\vec a = \frac{\mathrm{d} \vec v}{\mathrm{d} t} = costante

Integrando tra due istanti di tempo generici:

\int_{t_0}^t \mathrm{d}\vec v = \int_{t_0}^{t} \vec a \, \mathrm{d}t

dove è sempre possibile scegliere t_0 = 0 e dove \vec v(t_0=0) = \vec v_0

Essendo l'accelerazione costante, si ottiene:[3]

\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t

dove:

  • \vec v(0) = \vec v_0 è la velocità iniziale
  • \vec v(t) è la velocità all'istante t.

Essendo:

\vec v(t)=\frac{d \vec s(t)}{dt}

Sostituendo la relazione appena trovata nell'ultima relazione ottenuta ed integrando:

\int_{t_0}^t \mathrm{d} \vec s(t)  = \int_{t_0}^{t} (\vec v_0 + \vec a \cdot t)\mathrm{d}t

Da cui:[3]

\vec s(t) = \vec s_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2}\vec a t^2

dove:

  • \vec s(t) è la posizione all'istante t;
  • \vec s(t_0) = \vec s_0 è la posizione iniziale (t = 0);
  • \vec v_0 la velocità iniziale.

Osservazione[modifica | modifica sorgente]

La notazione vettoriale è dovuta al fatto che il moto si può svolgere su un piano o nello spazio e i vettori sono sempre riferiti ad un sistema di riferimento generico. Con un'opportuna scelta del sistema di riferimento ci si può sempre ricondurre al moto del punto in un piano e anche al moto unidimensionale quando velocità iniziale ed accelerazione hanno la stessa direzione. In quest'ultimo caso la notazione vettoriale è superflua e le equazioni caratteristiche del moto si possono scrivere supponendo che il moto si svolga sull'asse x (rettilineo), quindi:

a_x = \frac{d v_x}{dt} = a = cost
v_x(t) = v_{x_{0}} + a t
x(t) = x_0 + v_{x_{0}} t + \frac{1}{2} a t^2

inoltre partendo dalla formula

v = v_0 + at

ed esplicitando il tempo si ottiene

t =\frac{v -v_0}{a}

ricordando che

x = x_{0} + v_{0}t +\frac{1}{2}at^{2}

e sostituendo con il termine t appena trovato otteniamo

x = x_{0} + v_{0}\frac{v -v_0}{a} +\frac{1}{2}a \frac{ \left(v -v_0\right)^{2}}{a^{2}}

moltiplicando per 2a ed esplicitando il polinomio \left(v -v_0\right)^{2} si ottiene

2ax-2ax_{0} =2v_{0}v-2v_{0}^{2} + v^{2} -2v_{0}v +v_{0}^{2}

semplificando si ottinene infine la relazione

v^{2}-v_{0}^{2} = 2a(x-x_{0})

Moto uniformemente accelerato in relatività speciale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi relatività ristretta.

Anche in relatività ristretta è possibile considerare dei moti rettilinei. Il moto è rettilineo uniforme se la quadrivelocità (e quindi le sue componenti spaziali) è costante.

È molto istruttivo considerare il moto di una particella dotata di accelerazione costante (in un dato sistema di riferimento), come accade con buona approssimazione a particelle cariche in acceleratori lineari. Possiamo orientare l'asse x lungo la direzione del moto: la legge del moto è data da[4][5]:

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left( \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \right) = \frac{a}{c}

dove \beta=\frac{v}{c} e c è la velocità della luce nel vuoto. Mettendoci nel caso in cui la particella sia inizialmente ferma nell'origine del sistema di riferimento otteniamo integrando una prima volta:

v(t)=\frac{at}{\sqrt{1+a^2t^2/c^2}}

Osserviamo che la velocità è sempre inferiore alla velocità della luce c, come previsto: infatti una delle conseguenze fondamentali della relatività ristretta è che nessun corpo possa raggiungere la velocità della luce se non in un tempo infinito. Integrando una seconda volta:

x(t)=\frac{c^2}{a}\left(\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}-1\right)

La legge oraria si può scrivere anche come:

\left( x+\frac{c^2}{a} \right)^2 -c^2t^2=\frac{c^4}{a^2}

che è una iperbole nel piano xt: l'asintoto si ricava "brutalmente" per grandi t dalla legge oraria ed è dato da

 x(t)=ct+ \text{cost}

cioè il corpo tende a muoversi di moto rettilineo uniforme alla velocità della luce. Come già detto, in realtà il corpo non raggiungerà mai la velocità della luce ma si avvicinerà arbitrariamente ad essa col passare del tempo. Un'altra interessante considerazione riguarda il limite di bassa velocità, che è dato da:

x(t)=\frac{c^2}{a}\left(\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}-1\right) \approx \frac{c^2}{a} \left( \frac{a^2t^2}{2c^2}\right)=\frac{1}{2}at^2

cioè per velocità non troppo elevate (  at =v \ll c ) l'accelerazione è praticamente uguale a quella Newtoniana.

Note storiche[modifica | modifica sorgente]

Sebbene oggi sia noto che un oggetto non sottoposto a forze si muove in moto rettilineo uniforme, in passato si credeva invece che il moto di un oggetto lasciato libero di muoversi fosse descritto da un moto decelerato (teoria aristotelica). Questo è infatti ciò che suggerisce l'esperienza quotidiana. Ma prima Galileo Galilei e poi Newton scoprirono che le cose stavano diversamente. I principi della dinamica furono scoperti da Galileo Galilei e dimostrati nel trattato Due nuove scienze del 1638 (giornate 1 e 2) e successivamente da Newton nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687. Nella fisica moderna si affermò il fatto che ogni accelerazione (e quindi decelerazione) è dovuta ad una forza esercitata sul corpo, ci si convinse che il moto "naturale" di un corpo è il moto rettilineo uniforme e che la decelerazione osservata nelle esperienze quotidiane è dovuta invece alla forza d'attrito a cui ogni oggetto è sottoposto se il moto avviene a contatto con altra materia.

Con l'introduzione della teoria della relatività generale, nella prima metà del XX secolo, si è capito che le traiettorie "naturali" seguite da un corpo non sottoposto a forze esterne non sono sempre delle rette, ma in effetti geodetiche dello spazio-tempo; da questo punto di vista la forza di gravità non è altro che una forza apparente dovuta alla curvatura dello spazio-tempo. Un corpo non sottoposto a forze si muove lungo una retta solo su piccole distanze, così da poter considerare praticamente costante il campo gravitazionale e nulla la curvatura dello spazio-tempo.[6]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Nicola Santoro, La cinematica in breve
  2. ^ Mazzoldi, op. cit., p. 9
  3. ^ a b Mazzoldi, op. cit., p. 12
  4. ^ Goldstein, op.cit., pagg. 301-302.
  5. ^ Si può ricavare l'equazioni del moto dalla lagrangiana L=-m_0c^2\sqrt{1-\beta^2}-m_0ax oppure direttamente dalla versione relativistica di \frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}t}=F con F=m_0a e m_0 massa a riposo della particella.
  6. ^ Einstein, op.cit., pag. 157.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Paul A. Tipler, Invito alla Fisica 1, 1ª ed., Zanichelli, 1990. ISBN 88-08-07568-0.
  • C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3ª ed., Liguori Editore, 1996. ISBN 88-207-1493-0.
  • Herbert Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, 2005. ISBN 88-08-23400-2.
  • Albert Einstein, Come io vedo il mondo. La teoria della relatività, 12ª ed., Bologna, Newton Compton Editore, giugno 2005. ISBN 88-7983-205-0.
  • Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a DUE NUOVE SCIENZE attinenti la meccanica e i movimenti locali (pag.664, edizione critica a cura di Tarek Ghrieb, annotata e commentata), edizioni Cierre, Simeoni Arti Grafiche, Verona, 2011, ISBN 9788895351049.
  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica, vol. 1, 2ª ed., Edises, 2000. ISBN 8879591371.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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