Potenziale magnetico

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Nell'ambito della magnetostatica e dell'elettrodinamica, il termine potenziale magnetico si può riferire a due grandezze matematiche diverse, il potenziale magnetico scalare ed il potenziale magnetico vettoriale. Il potenziale magnetico vettoriale è la componente spaziale del quadripotenziale: insieme al potenziale elettrico, che ha natura scalare, essi formano il potenziale associato al campo elettromagnetico.

Condizione necessaria perché un campo vettoriale sia conservativo è che il campo sia irrotazionale, cioè che il rotore applicato al campo vettoriale sia nullo ovunque. Per la quarta equazione di maxwell il campo magnetico ha rotore proporzionale alla densità di corrente, quindi è in generale non nullo. Tuttavia se la densità di corrente è diversa da zero solo in regioni limitate dello spazio, come dentro a conduttori percorsi da corrente elettrica, possiamo comunque cercare di calcolare, in analogia col caso del campo elettrostatico, una funzione potenziale scalare di cui il campo magnetico sia gradiente. In effetti tale funzione scalare esiste, ed è proporzionale all'angolo solido sotto cui è visto il circuito che genera il campo.

L'introduzione del potenziale vettore è invece strettamente legata alla solenoidalità del campo magnetico. È infatti noto che la divergenza di un rotore di un campo vettoriale è sempre nulla. Essendo la divergenza del campo magnetico nulla, possiamo pensare quest'ultimo come rotore di un campo vettoriale chiamato, appunto, potenziale vettore. Il potenziale vettore è noto a meno di un qualunque gradiente di una funzione scalare, e questo fatto viene indicato come invarianza di gauge del campo magnetico.

Di particolare interesse ed importanza sono i potenziali ritardati, che tengono conto della velocità finita (la velocità della luce c) di propagazione dei potenziali stessi e dei campi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il potenziale magnetico \mathbf A è definito insieme al potenziale elettrico \phi nel seguente modo:[1]

\mathbf E = - \mathbf \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}
\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A

dove \mathbf E e \mathbf B sono il campo elettrico ed il campo magnetico.

Nel gauge di Lorenz, inserendo l'espressione dei potenziali nelle equazioni di Maxwell si verifica che la legge di Faraday e la legge di Gauss magnetica si riducono ad identità, mentre le restanti due equazioni assumono la forma:

\nabla \cdot (\varepsilon \nabla \phi) + \mathbf \nabla (\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}) + \rho_E = 0
\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \rho_E \mathbf v

e sono equivalenti alle equazioni di Maxwell.[2]

Magnetostatica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi potenziale vettore.

In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore \mathbf A_0 come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico:[3]

\mathbf B_0(x,y,z) = \mathbf \nabla \times \mathbf A_0(x,y,z)

Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria \phi, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

\mathbf \nabla \times (\mathbf A_0 + \mathbf \nabla \phi) = \mathbf \nabla \times \mathbf A_0

Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza:

\mathbf \nabla \cdot (\mathbf A_0 + \mathbf \nabla \phi) = \mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0 + \mathbf \nabla \mathbf \nabla \phi = \mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0 + \mathbf \nabla^2 \phi

ed è possibile scegliere un'opportuna funzione \phi in modo tale che:

\mathbf \nabla^2 \phi = -\mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0

così che la divergenza di \mathbf A_0 sia nulla:

\mathbf \nabla \cdot (\mathbf A_0 + \mathbf \nabla \phi) = 0 .

Sfruttando la precedente relazione, e applicando il rotore all'equazione del potenziale vettore si ottiene:

\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = \mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf A_0 = (\mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0) \cdot \mathbf \nabla - \mathbf \nabla^2 \mathbf A_0 = - \mathbf \nabla^2 \cdot \mathbf A_0

e ricordando la Legge di Ampere si ha che:

\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = - \mathbf \nabla^2 \cdot \mathbf A_0 = \mu_0 \rho_E \mathbf v.

Questo implica che le componenti di \mathbf A_0 verificano l'equazione di Poisson:[4]

\begin{cases} \nabla^2 A_{0x} = - \mu_0 \rho_E v_x \\ \nabla^2 A_{0y} = - \mu_0 \rho_E v_y \\ \nabla^2 A_{0z} = - \mu_0 \rho_E v_z \end{cases}

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:[5]

\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\mathbf \rho_E \mathbf v(\mathbf r')}{|\Delta \mathbf r|} dV'

In particolare, per circuiti filiformi:

\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_{l'} \frac {d\mathbf l'}{|\Delta \mathbf r|}.

Relazioni integrali[modifica | modifica sorgente]

Si è visto che esiste un potenziale vettore per il calcolo del campo magnetico tale che:

\mathbf B_0(x,y,z) = \mathbf \nabla \times \mathbf A_0(x,y,z)

La corrispondente relazione integrale, tramite il teorema del rotore, ci dice che l'integrale lungo una qualsiasi linea chiusa e orientata l che sia contorno di una qualsiasi superficie \mathbf S:

\int_{S} \mathbf B_0 \cdot d \mathbf S = \int_S \nabla \times \mathbf A_0 \cdot d \mathbf S = \oint_{l} \mathbf A_0 \cdot d\mathbf l

cioè la circuitazione del potenziale vettore lungo qualsiasi linea chiusa è uguale al flusso del campo magnetico concatenato con tale linea.

Inoltre, il potenziale vettore deve essere solenoidale, quindi per il teorema della divergenza deve essere nullo il flusso calcolato su qualsiasi superficie:

\oint_S \mathbf A_0 \cdot d\mathbf S = \int_V \nabla \cdot \mathbf A_0 dV = 0

Elettrodinamica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Quadripotenziale .

Nel caso più generale, in cui le sorgenti variano nel tempo e si tiene conto degli aspetti relativistici, il potenziale magnetico è la componente spaziale del quadripotenziale elettromagnetico, definito come:[6]

A^{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, \mathbf A \right)

in cui \phi è il potenziale scalare ed \mathbf A il potenziale magnetico vettoriale.

L'unità di misura di A^\alpha è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz. Nel gauge di Lorenz il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[7]

F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Dato che \partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0 in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

\Box A^{\alpha} = \mu_0 \rho_E \mathbf v^{\alpha} \qquad \left( \Box A^{\alpha} = \frac{4 \pi}{c} \rho_E \mathbf v^{\alpha} \right)

dove \rho_E \mathbf v^{\alpha} sono le componenti della quadricorrente, e:

\Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2} {\partial t^2}-\nabla^2

è l'operatore di d'Alembert.[6] Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \rho_E \mathbf v

Per una data distribuzione di carica \rho(\mathbf{x},t) e corrente \rho_E(\mathbf{x},t) \mathbf v(\mathbf{x},t) le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

\phi (\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\rho( \mathbf{x}^\prime, \tau)}{ \left| \mathbf{x} - \mathbf{x}^\prime \right|} \qquad \mathbf A (\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\rho_E \mathbf v( \mathbf{x}^\prime, \tau)}{ \left| \mathbf{x} - \mathbf{x}^\prime \right|},

dove

\tau = t - \frac{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}{c}

è il tempo ritardato.

Potenziale scalare[modifica | modifica sorgente]

Esiste un potenziale scalare magnetico \psi se e solo se il campo magnetostatico è irrotazionale in un dominio semplicemente connesso.[8]
Sapendo che il campo magnetico non è irrotazionale ovunque, ma solo lontano dallo spazio in cui sono presenti i conduttori, soltanto in questo caso esiste un potenziale scalare magnetico tale che:

\mathbf B_0 = - \mathbf \nabla \psi

È possibile ricavare questo potenziale utilizzando la legge di Ampere, lontano dallo spazio in cui sono presenti correnti:

\oint \mathbf B_0 \cdot d\mathbf l = 0

o equivalentemente:

\mathbf B_0 \cdot d\mathbf l = - \nabla \psi \cdot d\mathbf l

nella quale sostituendo la legge di Biot-Savart e integrando:[9]

\psi = - \frac {\mu_0 \ I}{4\pi} \Omega + cost

dove la costante può essere posta a zero.
\Omega è l'angolo solido creato dal cono con vertice nel punto ove si vuole calcolare il potenziale, e ciò significa che il campo magnetostatico lontano dallo spazio in cui sono presenti correnti:

\mathbf B_0 =  \frac {\mu_0 \ I}{4\pi} \mathbf \nabla \Omega

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Jackson, op. cit., Pag. 239
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 240
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 273
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 274
  5. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 260
  6. ^ a b Jackson, op. cit., Pag. 555
  7. ^ Jackson, op. cit., Pag. 556
  8. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 270
  9. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 271

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976. ISBN 88-359-5358-8.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 0-471-30932-X.
  • Richard P Feynman, Robert B Leighton e Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics Volume 2, Addison-Wesley, 1964. ISBN 0-201-02117-XP.
  • John David Jackson, Classical Electrodynamics, Third Edition, John Wiley & Sons, 1998.
  • Fawwaz Ulaby, Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition, Pearson Prentice Hall, 2007, pp. 226–228. ISBN 0-13-241326-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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