Quadricorrente

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In fisica, in particolare in elettrodinamica, la quadricorrente è il quadrivettore Lorentz covariante la cui componente temporale è la densità di carica elettrica e quella spaziale è la densità di corrente elettrica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La quadricorrente è un quadrivettore definito come

J^a = \left(c \rho, \mathbf{j} \right) = \left(c \rho, j^1 , j^2 , j^3 \right)

dove c è la velocità della luce, \rho la densità di carica e \mathbf{j} la densità di corrente, mentre a denota le dimensioni spaziotemporali.

La quadricorrente può essere espressa in funzione della quadrivelocità U^\alpha come:[1][2]

J^\alpha = \rho_0 U^\alpha = \rho\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} U^\alpha

dove la densità di carica \rho è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la corrente elettrica, mentre \rho_0 è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità u = \| \mathbf u \| pari alla norma della componente spaziale di U^\alpha.

In relatività generale la quadricorrente è definita come la divergenza del vettore spostamento elettromagnetico, dato da:

\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \qquad J^\mu = \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}

Equazione di continuità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione di continuità.

In relatività speciale la legge di conservazione della carica, che nel limite non relativistico è espressa dall'equazione di continuità, assume la seguente forma tensoriale:[3]

\partial_\alpha \cdot J = \partial_a J^a = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0

dove \partial_\alpha è il quadrigradiente, dato da:

\partial_\alpha \ =  \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right) \qquad \partial_a J^a =  \sum_{i=0}^{3} \partial_i J^i

L'equazione di continuità si può scrivere anche come:

J^a{}_{,a}=0

dove ; denota la derivata covariante.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519
  2. ^ Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123
  3. ^ Jackson, Pag. 554

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]