Potenziale elettrico

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Il potenziale elettrico di un corpo elettrostaticamente carico è il potenziale che esso assume in presenza di un campo elettrico.

Indice

[modifica] Definizione

Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico, si definisce potenziale elettrico in un punto il valore dell'energia potenziale rilevato da una carica elettrica positiva di prova posta in quel punto per unità di carica. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

\operatorname V=\frac{U}{q}

Il potenziale è dunque una quantità scalare e non dipende dal valore della carica di prova.
L'unità di misura del potenziale elettrico è il "volt" (simbolo V). Si dice che tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di 1 J per portare una carica di 1 C da A a B.

[modifica] Potenziale elettrostatico nel vuoto

Il potenziale elettrico, noto anche con il nome di potenziale scalare, viene indicato dalla lettera V, o a volte anche dalla lettera greca φ. Esso si ricava a partire dal lavoro del campo elettrico su una carica q:

dW = q \vec E_0 \cdot d\vec s

Se vogliamo calcolare il lavoro lungo una linea l da un punto A ad un punto B dobbiamo calcolare l'integrale:

W = \int_{A}^{B} q \vec E_0 \cdot d\vec s

[modifica] Potenziale elettrostatico per una carica puntiforme

Come esempio notevole calcoliamo il lavoro fatto dal campo elettrico creato da una carica puntiforme Q (a simmetria sferica) nel portare una carica di prova q da un punto A ad un punto B:


W = \frac {q Q}{4\pi \epsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {\vec r \cdot d\vec s}{r^3} = \frac {q Q} {4\pi \epsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {r \, dr} {r^3} = \frac {q Q} {4\pi \epsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {dr} {r^2}


dove il prodotto scalare \vec r \cdot d\vec s = r\,ds\,cos\theta \equiv r \, dr, dove θ è l'angolo compreso fra i vettori \vec r e d\vec s. Ricordiamo che ε0 è la costante dielettrica nel vuoto. Il risultato fondamentale è:


W = \frac {q Q} {4\pi \epsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {dr}{r^2} = \frac {q Q} {4\pi \epsilon_0} \left (\frac {1} {r_A} - \frac {1} {r_B} \right) = q (V_0(A) - V_0(B)) = - q \Delta V_0


Questa formula mostra un'importante caratteristica del campo elettrostatico: esso è conservativo, poiché il lavoro dipende solo dal valore della funzione V0 calcolata nei punti A e B e non dal particolare percorso seguito dalla carica q. Per questo motivo è sempre possibile definire una funzione scalare V0 il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo \vec E_0:

\vec E_0 = - grad V_0 = - \nabla V_0

Dunque, il potenziale elettrico nel vuoto per una carica puntiforme è:

V_0(r) = \frac {1} {4\pi \epsilon_0} \frac {Q}{r} + cost

Essendo il gradiente di una costante nullo, il potenziale elettrico è definito a meno di una costante arbitraria. Questo non rappresenta un problema pratico, poiché normalmente interessa conoscere la differenza di potenziale − ΔV0, più che il valore del potenziale elettrico in un punto. Convenzionalmente, la costante viene determinata considerando nullo il potenziale che una carica puntiforme produce all'infinito.

In coordinate cartesiane, si ha:

\vec E_0\,=\,(- \frac {\partial V_0}{\partial x} ,- \frac {\partial V_0}{\partial y} ,- \frac {\partial V_0}{\partial z} )

L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt, con simbolo V. Dalla definizione di potenziale elettrico in termini di lavoro, si ha che:

- \Delta V_0 = \frac {W}{q}

e quindi, le dimensioni del volt corrispondono a:

volt = \frac {joule} {coulomb}

[modifica] Potenziale elettrostatico per n cariche puntiformi

Una volta introdotta la definizione di potenziale per una carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione lineare è possibile generalizzare la definizione del potenziale nel vuoto generato da una distribuzione di cariche puntiformi q1,q2,...,qn, disposte nello spazio nelle posizioni r1,r2,...,rn, in un qualsiasi punto P(x,y,z):


\vec E_{0i} = - \nabla V_{0i}


\vec E_{0}(P) = \sum_{i=1}^n \frac {q_i}{4\pi \epsilon_0} \frac {(\vec r_i -\vec r)} {\left| \vec r_i - \vec r \right|^3}

[modifica] Potenziale elettrostatico per una distribuzione continua di carica

Poiché la carica elettrica è quantizzata (non è stata sinora dimostrata l'esistenza in Natura di cariche elettriche libere inferiori a quelle di un elettrone, pari a e = 1.602\,176\,53(14) \times 10^{-19} \, \mbox{C}), a rigore non esistono distribuzioni continue di carica elettrica. Tuttavia, in un corpo esteso le cariche elementari sono in numero talmente elevato che è conveniente utilizzare il formalismo infinitesimale ed introdurre la densità di carica volumetrica \rho = \frac {dq}{dv}, superficiale \sigma = \frac {dq}{dS} e lineare \lambda = \frac {dq}{dl}.

Così, il potenziale elettrico in un punto dello spazio P(x,y,z), generato da una sorgente estesa con carica totale

Q = ∫ ρ(x',y',z')dx'dy'dz'
v

è dato dall'integrale:

V_0(P) = \frac {1} {4\pi \epsilon_0} \int_{v} \frac {\rho(x',y',z')} {r - r'}{dx}' {dy}' {dz}'

in cui r è la distanza dall'origine del punto P e r' è la distanza dall'origine del volume infinitesimale dv' = dx'dy'dz'.


[modifica] Superfici equipotenziali

Si definiscono superficie equipotenziali quelle superfici in ogni punto delle quali il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Questo implica che il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo ovunque perché è nulla la componente del campo elettrico parallela al campo, cioè il campo elettrico è ortogonale alla superficie equipotenziale.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_elettrico"
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