Potenziale elettrico

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In fisica e in particolare in elettromagnetismo, il potenziale elettrico (o potenziale coulombiano) è il potenziale scalare associato all'interazione elettromagnetica. Il potenziale elettrico è la componente temporale del quadripotenziale: insieme al potenziale magnetico, che ha natura vettoriale, forma il potenziale associato al campo elettromagnetico.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico conservativo, si definisce potenziale elettrico in un punto il valore dell'energia potenziale elettrica rilevato da una carica elettrica positiva di prova posta in quel punto per unità di carica.[1] Il potenziale elettrico è dunque il rapporto tra l'energia potenziale elettrica (ossia il lavoro che deve compiere la forza dovuta al campo elettrico per spostare una o più cariche da quel punto fino all'infinito, ove si assume potenziale nullo) e la carica di prova.

L'energia potenziale elettrica della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico, e pertanto il potenziale elettrico V della carica di prova è definito operativamente come il rapporto tra l'energia potenziale U e il valore della carica stessa, cioè:

\operatorname V=\frac{U}{q}

Il potenziale è dunque una quantità scalare e non dipende dal valore della carica di prova. La sua unità di misura è inoltre il volt: tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di un Joule per portare una carica di un Coulomb da A a B. Il lavoro dW svolto dal campo elettrico \mathbf E_0 per un percorso infinitesimo d \mathbf s su una carica q è dato da:

dW = q \mathbf E_0 \cdot d\mathbf s

e per calcolare il lavoro lungo una linea l da un punto A ad un punto B:

W = \int_{A}^{B} q \mathbf E_0 \cdot d\mathbf s

Si definiscono superficie equipotenziali per il potenziale elettrico le superfici in ogni punto delle quali il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Questo implica che il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo ovunque perché è nulla la componente del campo elettrico parallela al campo, cioè il campo elettrico è ortogonale alla superficie equipotenziale.

Potenziale elettrostatico associato ad una carica puntiforme[modifica | modifica sorgente]

Si consideri il lavoro fatto dal campo elettrico creato da una carica puntiforme Q nel portare una carica di prova q da un punto A ad un punto B:

W = \frac {q Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {\mathbf r \cdot d\mathbf s}{r^3} = \frac {q Q} {4\pi \varepsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {r \, dr} {r^3} = \frac {q Q} {4\pi \varepsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {dr} {r^2}

dove \varepsilon_0 è la costante dielettrica nel vuoto, e:

\mathbf r \cdot d\mathbf s = r\,ds\,cos\theta \equiv r \, dr

con \theta l'angolo compreso fra i vettori \mathbf r e d\mathbf s. Si ha:

W = \frac {q Q} {4\pi \varepsilon_0} \int_{A}^{B} \frac {dr}{r^2} = \frac {q Q} {4\pi \varepsilon_0} \left (\frac {1} {r_A} - \frac {1} {r_B} \right) = q (V_0(A) - V_0(B)) = -q \Delta V_0

e tale formula mostra che il campo elettrostatico è conservativo, poiché il lavoro dipende solo dal valore della funzione V_0 calcolata nei punti A e B e non dal particolare percorso seguito dalla carica q. Si noti che la conservatività del campo elettrico viene tuttavia a mancare in condizioni non stazionarie.

Dal momento che per il teorema di Helmholtz si può sempre definire una funzione scalare V_0 il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo \mathbf E_0:

\mathbf E_0 = - \nabla V_0

il potenziale elettrico nel vuoto per una carica puntiforme è dato da:

V_0(r) = \frac {1} {4\pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r} + cost

Il potenziale elettrico è quindi definito a meno di una costante arbitraria, essendo il gradiente di una costante nullo. Questo non rappresenta un problema pratico, poiché normalmente interessa conoscere la differenza di potenziale -\Delta V_0, più che il valore del potenziale elettrico in un punto. Convenzionalmente, la costante viene determinata considerando nullo il potenziale che una carica puntiforme produce all'infinito.

In coordinate cartesiane, si ha:

\mathbf E_0\,=\,(- \frac {\partial V_0}{\partial x} ,- \frac {\partial V_0}{\partial y} ,- \frac {\partial V_0}{\partial z} )

Dalla definizione di potenziale elettrico in termini di lavoro, si ha che:

 - \Delta V_0 = \frac {W}{q}

e quindi, le dimensioni del potenziale corrispondono a:

 potenziale \, elettrico = \frac {lavoro} {carica \, elettrica}

Potenziale elettrostatico per n cariche puntiformi[modifica | modifica sorgente]

Una volta introdotta la definizione di potenziale per una carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione lineare è possibile generalizzare la definizione del potenziale nel vuoto generato da una distribuzione di cariche puntiformi q_1, q_2, ... , q_n, disposte nello spazio nelle posizioni r_1, r_2, ... , r_n:

\mathbf E_{0i} = - \nabla V_{0i}

ovvero:

\mathbf E_{0}(P) = \sum_{i=1}^n \frac {q_i}{4\pi \varepsilon_0} \frac {(\mathbf r_i -\mathbf r)} {\left| \mathbf r_i - \mathbf r \right|^3}

Potenziale elettrostatico per una distribuzione continua di carica[modifica | modifica sorgente]

Poiché la carica elettrica è quantizzata,[2] a rigore non esistono distribuzioni continue di carica elettrica. Tuttavia, in un corpo esteso le cariche elementari sono in numero talmente elevato che è conveniente utilizzare il formalismo infinitesimale ed introdurre la densità di carica volumetrica \rho = dq / dv, superficiale  \sigma  = dq / dS e lineare  \lambda = dq / dl. In questo modo il potenziale elettrico in un punto dello spazio (x,y,z) generato da una sorgente estesa con carica totale

Q = \int_{v} \rho(x',y',z'){dx}' {dy}' {dz}' \

è dato dall'integrale:

V_0(P) = \frac {1} {4\pi \varepsilon_0} \int_{v} \frac {\rho(x',y',z')} {r - r'}{dx}' {dy}' {dz}' \

in cui r è la distanza dall'origine del punto P e r' è la distanza dall'origine del volume infinitesimale  dv' = {dx}' {dy}' {dz}' .

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "electric potential"
  2. ^ Non è stata sinora dimostrata l'esistenza in Natura di cariche elettriche libere inferiori a quelle di un elettrone, pari a e = 1{,}602\,176\,53(14) \times 10^{-19} \, \mbox{C}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]