Equazioni di Jefimenko

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In elettromagnetismo, le equazioni di Jefimenko descrivono il comportamento del campo elettrico e del campo magnetico in funzione di sorgenti arbitrarie dipendenti dal tempo. Le equazioni, dovute a Oleg D. Jefimenko, sono pertanto soluzione delle equazioni di Maxwell per una distribuzione assegnata di cariche e correnti al tempo ritardato, e permettono di generalizzare la legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart.[1][2]

Le equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il vettore \mathbf{r} è la posizione in cui viene calcolato il campo rispetto alla sorgente, integrata rispetto alla variabile \mathbf{r'}.

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica \rho o corrente elettrica \mathbf{J} dipendente dal tempo, ed hanno la seguente forma:[3]

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{r}-\mathbf{r}') - \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| c^2}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \times (\mathbf{r}-\mathbf{r}') \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

dove \mathbf{r}' è un punto all'interno della distribuzione di carica, \mathbf{r} è un punto nello spazio e:

t_r = t - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia \mathbf{D} e \mathbf{H} hanno la stessa forma.[4]

Derivazione a partire dai potenziali ritardati[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi potenziali ritardati.

Si possono derivare le equazioni di Jefimenko a partire dai potenziali ritardati \varphi ed \mathbf{A},[5] che hanno la forma:

 \varphi(\mathbf{r},t) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \dfrac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}' \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

- \mathbf{E} = \nabla\varphi + \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

ed utilizzando la relazione:

c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}

si possono ottenere le equazioni di Jefimenko rimpiazzando \varphi ed \mathbf{A} con i campi \mathbf{E} e \mathbf{B}.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9.
  2. ^ David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
  3. ^ Jackson, Pag. 247
  4. ^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
  5. ^ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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