Equazione di continuità

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In fisica, l'equazione di continuità è un'equazione differenziale che esprime in forma locale la legge di conservazione per una generica grandezza fisica utilizzando il flusso della grandezza attraverso una superficie chiusa. L'equazione di continuità può essere espressa come legge differenziale oppure integrale.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Un campo vettoriale associa ad ogni punto dello spazio un vettore. Per esempio, se si considera lo scorrere di carica elettrica attraverso un conduttore elettrico, è possibile definire il campo vettoriale che ad ogni punto associa la velocità di deriva \bold v delle cariche. Se si vuole esprimere la conservazione di una quantità è utile considerare il flusso di tale quantità attraverso una superficie: considerate due sezioni del conduttore, se il numero di cariche che attraversano le rispettive superfici nell'unità di tempo è il medesimo significa che le cariche che viaggiano nella parte di conduttore compresa tra le due sezioni non si disperdono, restando all'interno di esso.

Sia \varphi la densità volumetrica di una quantità q conservata:

 q = \int_V \varphi \, \mathrm{d}V

e si consideri il flusso di un campo vettoriale \bold{f} = \varphi \bold{v} attraverso due superfici S_1 di area \bold S_1 e S_2 di area \bold S_2. La forma più semplice dell'equazione di continuità mostra la condizione tale per cui il flusso è il medesimo per entrambe le superfici:

\int_{S_1} \varphi_1\bold{v}_1 \cdot {\rm d}\bold{S}_1 = \int_{S_2} \varphi_2\bold{v}_2 \cdot {\rm d}\bold{S}_2 \qquad \int_{S_1} \bold{f}_1 \cdot {\rm d}\bold{S}_1 = \int_{S_2} \bold{f}_2 \cdot {\rm d}\bold{S}_2

dove:

\int_S {\rm d}\bold{S} \equiv \int_S \bold{\hat{n}}{\rm d}S \qquad \mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{\hat{n}}\mathrm{d}S

Si tratta di un integrale di superficie con \mathbf{\hat{n}} il versore normale alla superficie considerata. Uguagliando gli integrandi si ha:

 \varphi_1 \bold{v}_1 \cdot {\rm d}\bold{S}_1 = \varphi_2 \bold{v}_2 \cdot {\rm d}\bold{S}_2 \qquad \bold{f}_1 \cdot {\rm d}\bold{S}_1 = \bold{f}_2 \cdot {\rm d}\bold{S}_2

che è il prodotto interno del campo \bold{f} con gli l'elementi di superficie {\rm d}\bold{S}_1 e {\rm d}\bold S_2 attraverso il quale scorre nell'unità di tempo.

In modo più generale, si può considerare una superficie chiusa S e dire che il flusso totale di un campo \bold f attraverso di essa (pari alla differenza tra il flusso uscente ed il flusso entrante) è uguale alla variazione temporale di una densità \varphi relativa ad una quantità conservata all'interno della superficie. Considerando come superficie chiusa un tratto di conduttore percorso da corrente delimitatao da due sezioni S_1 e S_2, ad esempio, la differenza tra il flusso uscente (relativo a S_2) ed il flusso entrante (relativo a S_1) è pari alla variazione temporale della carica contenuta tra le due superfici. Tale variazione è espressa scrivendo la carica contenuta tra le due superfici come l'integrale, esteso sul volume del tratto di conduttore considerato, della densità di carica. Nell'analogia con un conduttore percorso da corrente si può pensare a \bold{f} come il vettore densità di corrente.

L'equazione di continuità garantisce che la quantità totale di carica q contenuta all'interno della regione V delimitata da una superficie chiusa \partial V cambi nel tempo in funzione della quantità di carica che entra o fuoriesce dalla superficie stessa, ovvero in funzione del flusso del campo \bold f attraverso la superficie \partial V. L'integrale che fornisce il flusso si relaziona alla variazione spaziale del campo attraverso il teorema della divergenza:

\frac{{\rm d} q}{{\rm d} t} = \int_V \frac{\partial \varphi}{\partial t}{\rm d}V = - \oint_{\partial V} \mathbf{f} \cdot d\mathbf{S} = - \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{f} \, {\rm d}V

dove la superficie chiusa \partial V è la frontiera del dominio di integrazione. Considerando gli integrandi al secondo e all'ultimo termine si ottiene la forma locale dell'equazione di continuità (che in tal caso è la legge di conservazione della carica elettrica):

\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = 0

Tale espressione può essere applicata per diverse grandezze fisiche, e rappresenta una legge di conservazione di validità generale. Nel caso \varphi non sia una quantità conservata, l'equazione assume la sua forma più generale:

\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = \Sigma

dove \nabla \cdot è la divergenza. In forma integrale si ha:

\frac{{\rm d} q}{{\rm d} t} + \oint_{\partial V} \bold{f} \cdot {\rm d}\bold{S} = \Sigma

Conservazione della carica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi legge di conservazione della carica elettrica.

Ponendo \varphi \equiv \rho la densità di carica e \mathbf {f} \equiv \mathbf {J} = \varphi \mathbf {v} = n e \mathbf {v} la densità di corrente, dove n è il numero di portatori di carica e per unità di volume, si ottiene l'equazione di continuità per la carica elettrica,[1] che in forma integrale diventa:

i = \int_{\partial V} \mathbf J \cdot \operatorname {\rm d} \mathbf S = - \frac {\partial}{\partial t} \int_V \rho \operatorname {\rm d} V

dove i è la corrente elettrica. Ovvero, il flusso della densità di corrente \mathbf J attraverso una qualunque superficie chiusa \partial V è pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso da \partial V. L'equazione è implicita nelle equazioni di Maxwell, dal momento che eseguendo l'operazione di divergenza sulla quarta equazione corretta da Maxwell:

0=\mathbf \nabla \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf \nabla \cdot \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 \frac {\partial \mathbf \nabla \cdot \mathbf E}{\partial t}

e sostituendo al suo interno la prima:

\mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \frac {\rho}{\varepsilon_0}

si ottiene l'equazione di continuità. Storicamente infatti Maxwell corresse la legge di Ampère proprio in modo che concordasse con le altre due equazioni, ritenute più solide.

Notazione relativistica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi quadricorrente.

L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce il quadrivettore densità di corrente, la cui componente temporale è la densità di carica e quella spaziale è il vettore densità di corrente:

J^\mu =(c\rho, \mathbf J)

In questo modo l'equazione di continuità diventa:[2]

\partial_\mu J^\mu = 0

dove \partial_\mu è il quadrigradiente, dato da:

\partial_\mu \ =  \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)

L'equazione di continuità si può scrivere anche come:

J^a{}_{,a}=0

dove ; denota la derivata covariante.

Tale modo di esprimere compatto, una volta sostituita l'espressione espilicita di J^\mu diventa l'espressione dell'equazione di continuità.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

La forma differenziale può essere derivata supponendo che una quantità q sia contenuta in una regione di volume V il cui contorno è \partial V. Se tale quantità incrementa nel tempo, essa può essere scritta come la somma di quella contenuta nel volume più un incremento:

q(t) = \int_V \varphi(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V + \int^t\Sigma(t')\mathrm{d}t'

La variazione di q è espressa dalla derivata temporale:

 \frac{\partial q(t)}{\partial t} = -\frac{\partial }{\partial t} \int_V \varphi(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V + \Sigma(t) = \oint_{\partial V} \mathbf{f}(\mathbf{r},t)\cdot\mathrm{d}\bold{S}

ed usando il teorema della divergenza:

\int_V \nabla\cdot\mathbf{f}(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V = -\int_V \frac{\partial \varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} \mathrm{d}V + \int_V \sigma(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V

Tale relazione è vera solo se gli integrandi sono uguali, ovvero:

\nabla\cdot\mathbf{f}(\mathbf{r},t) = - \frac{\partial \varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \sigma(\mathbf{r},t)

Teorema di Noether[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Noether.

Se si considera la variazione infinitesima di un campo \phi(\mathbf r , t) (ad esempio un campo tensoriale):

\phi \rightarrow \phi + \delta\phi

il teorema di Noether afferma che la densità di lagrangiana \mathcal{L} è invariante rispetto ad una simmetria continua:

\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} + \delta\mathcal{L}

Questo fatto comporta che vi siano densità di correnti conservate della forma:[3]

J^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi

che soddisfano l'equazione di continuità:

\partial_\mu J^\mu = 0

Infatti, la variazione di \mathcal{L} è:

\delta\mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta (\partial_\mu \phi) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} (\partial_\mu \delta \phi)

usando le equazioni di Eulero-Lagrange:

\partial_\mu\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\right] = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

la variazione assume la forma:

\delta\mathcal{L} = \partial_\mu\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\right]\delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} (\partial_\mu \delta \phi) = \partial_\mu\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi\right] = 0

dove si è usata la regola del prodotto. Si ottiene così l'equazione di continuità in un'altra forma generale:

\partial_\mu\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi\right] = 0

e la densità di corrente conservata è:

J^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi

Integrando J^\mu in un volume dello spaziotempo si ricava l'incremento totale della corrente conservata all'interno di esso:

q = \int_V J^\mu dV = \int_V J^\mu dx^1dx^2dx^3

Massa[modifica | modifica sorgente]

La legge di conservazione della massa nella sua forma differenziale è particolarmente utile in fluidodinamica e termofluidodinamica. Si consideri un volume di controllo elementare fisso nel tempo dr^3 = dx dy dz delimitato da facce parallele agli assi coordinati. Il principio di conservazione della massa esprime il fatto che il flusso netto di massa attraverso la superficie di controllo nell'intervallo di tempo \operatorname dt è pari alla variazione di massa all'interno dello stesso elemento. Essendo il volume di controllo infinitamente piccolo ed assumendo che le variabili varino con continuità nello spazio e nel tempo, la massa del volume di controllo può essere espressa con \operatorname dm = \rho_m \operatorname dr^3, dove \rho_m è la densità del fluido.

\frac {\partial \rho_m }{\partial t} +\nabla \rho_m \cdot \frac{ \operatorname d \mathbf r}{\operatorname dt} + \rho_m \nabla \cdot \frac{ \operatorname d \mathbf r}{\operatorname dt} = 0

che per un fluido incomprimibile diventa:

\nabla \cdot \frac{ \operatorname d \mathbf r}{\operatorname dt} = 0

In meccanica quantistica[modifica | modifica sorgente]

Anche in meccanica quantistica l'equazione di continuità esprime una legge di conservazione, questa volta della densità di probabilità. Essa, infatti, è data da:

\frac {\partial}{\partial t} \left | \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \right |^2 + \nabla \cdot \left( \frac {i \hbar}{2m} \left ( \nabla \bar \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \psi \left ( \mathbf r, t \right ) - \bar \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \nabla \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \right ) \right)= 0

ovvero:

\frac {\partial}{\partial t} \left | \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \right |^2 + \nabla \cdot \left( \frac {i \hbar}{2m} \nabla \bar \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \right) - \nabla \cdot \left( \frac {i \hbar}{2m} \bar \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \nabla \psi \left ( \mathbf r, t \right ) \right)= 0

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 175
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 554
  3. ^ D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), Quantum Field Theory, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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