Legge di conservazione della carica elettrica

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La legge di conservazione della carica elettrica è l'equazione di continuità per la carica elettrica. La legge afferma che il flusso della densità di corrente elettrica attraverso una qualunque superficie chiusa è pari alla variazione della carica elettrica situata nel volume racchiuso dalla superficie.[1]

La legge[modifica | modifica wikitesto]

La legge di conservazione per la carica elettrica in forma differenziale è l'equazione di continuità:[2]

\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf J = 0

dove \mathbf J = \rho \mathbf v è la densità di corrente elettrica, con \rho la densità di carica elettrica e \mathbf v la velocità di deriva.

Dopo avere integrato in un volume ed essersi serviti del teorema della divergenza si ottiene la forma integrale:

\frac {\partial}{\partial t} \int_V \rho \operatorname d r^3 + \oint_{\partial V} \mathbf J \cdot \operatorname d \mathbf r^2 = 0

che può essere scritta come:

 \frac {\partial Q}{\partial t} + I= 0

dove Q è la carica elettrica contenuta nel volume di integrazione e I è la corrente elettrica netta uscente dalla superficie che lo delimita. Per dimostrare l'equazione di continuità in forma indefinita si utilizza il teorema del trasporto di Reynolds, con il quale si può scrivere:

\frac {\operatorname d}{\operatorname d t}  \int_V \rho \operatorname d V = 0

ovvero:

\frac {\operatorname d Q}{\operatorname d t}= 0

La legge di conservazione e le equazioni di Maxwell[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di continuità può essere derivata dalle equazioni di Maxwell applicando l'operatore divergenza alla quarta:

\mathbf \nabla \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \cdot \left( \mathbf \nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \mathbf \nabla \cdot \mathbf D}{\partial t}\right)

e sostituendo al suo interno la prima:

\mathbf \nabla \cdot \mathbf D = \rho

Si deve notare che la relazione  \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J vale solamente nel caso stazionario, come si mostra applicando la divergenza ad entrambi i membri. Per il primo si ha  \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf B ) = 0 , e quindi si deve verificare che anche  \nabla \cdot \mathbf J sia nulla. Tuttavia l'equazione di continuità per la corrente elettrica impone che  \nabla \cdot \mathbf J sia nulla solo quando \partial \rho / \partial t = 0, cioè solo nel caso stazionario.[3]

L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario, dovuta a Maxwell, è un risultato fondamentale per il successivo sviluppo dell'elettrodinamica poiché mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico.

Inserendo la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità si ottiene:

 \nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)

dove il termine:

 \mathbf {J}_s = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf {E}}{\partial t}

è la corrente di spostamento, e si somma alla densità di corrente nel caso non stazionario.[4]

Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:[5][6]

 \mathbf { \nabla \times B} = \mu_0 \left(\mathbf J +\varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}\right)

si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto.[7] Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.

Notazione relativistica[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce a tal fine la quadricorrente J^\mu = \rho ( c, \mathbf v), un quadrivettore la cui componente temporale è la densità di carica e quella spaziale è il vettore densità di corrente.

In questo modo l'equazione di continuità diventa:

\partial_\mu J^\mu = 0

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 176
  2. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 175
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 396
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 397
  5. ^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas, Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8.
  6. ^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0.
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 398

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • Jerry D. Wilson, Antony J. Buffa, Fisica 3, Milano, Principato, 2000, ISBN 88-416-5803-7

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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