Corrente di spostamento

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In fisica, la corrente di spostamento è una grandezza che rappresenta la variazione temporale del campo elettrico introdotta per descrivere la formazione di un campo magnetico in presenza di un campo elettrico variabile nel tempo.[1] Tale grandezza esprime a livello generale il fatto che campi elettrici variabili nel tempo generano campi magnetici, e permette di descrivere completamente il campo elettromagnetico attraverso le Equazioni di Maxwell.[2]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri il vettore induzione elettrica, definito come:

 \mathbf {D} = \varepsilon_0  \mathbf {E} +  \mathbf {P}

dove \mathbf {E} è il campo elettrico e \mathbf {P} la polarizzazione elettrica. La densità di corrente di spostamento è definita come la variazione nel tempo del vettore induzione elettrica:[1]

 \mathbf {J}_s = \frac{\partial  \mathbf {D}}{\partial t}

o, equivalentemente:

  \mathbf {J}_s = \varepsilon_0 \frac{\partial  \mathbf {E}}{\partial t} + \frac{\partial  \mathbf {P}}{\partial t}

Dove l'ultimo termine a secondo membro è la densità di corrente di polarizzazione.

La corrente di spostamento che attraversa una data superficie S è allora definita nella sua forma più generale come il flusso della densità di corrente di spostamento attraverso tale superficie:[3]

i_s = \int_S \mathbf {J}_s \cdot d \mathbf {S}

Nel caso del vuoto, essendo la polarizzazione elettrica nulla, la corrente di spostamento assume la forma:

i_{s}=\varepsilon_o \int_S \frac {\partial \mathbf E(t)}{\partial t} \cdot d \mathbf S

La contraddizione nel condensatore a facce piane[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge di Ampère.
Rappresentazione schematica di un circuito con un condensatore piano attraversato da una corrente variabile i(t). Se non si considera la corrente di spostamento, per la Legge di Ampère la circuitazione di \mathbf B lungo la frontiera di S_1 vale i(t) mentre lungo la frontiera di S_2 vale 0, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità.

Si supponga di caricare un condensatore con una corrente i(t). Se si applica la legge di Ampère, ovvero si calcola la circuitazione del campo magnetico lungo un cammino chiuso che delimita la superficie chiusa S_1, la quale racchiude una delle due armature, si ottiene che l'integrale di linea di \mathbf B lungo la linea l che racchiude S fornisce:

\oint_{l} \mathbf B \cdot d \mathbf l=\mu_o i

Se si calcola, invece, la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa che delimita una superficie chiusa S_2 posta all'interno del condensatore, ma tale da non contenere nessuna delle due armature al suo interno, essa è nulla.[4] Tale risultato viola l'equazione di continuità per la corrente elettrica in circuiti interrotti da condensatori: si tratta di una contraddizione dovuta all'aver trascurato la corrente di spostamento tra le armature del condensatore, all'interno del quale è presente un campo elettrico variabile nel tempo \mathbf E(t).

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S_2 è:

\Phi(\mathbf E)=\int_{\mathbf {S_2}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S_2}

dove il campo elettrico, nel caso di un condensatore piano, è:

\mathbf E=\frac{\sigma}{\epsilon_o} \mathbf n

in cui \sigma\, è la densità superficiale di carica sulle armature.

Per il teorema del flusso si ha che:

Q=\epsilon_o\,\Phi(\mathbf E)

e derivando rispetto al tempo si ottiene la corrente di spostamento:

i=\varepsilon_o \frac {\partial }{\partial t}\Phi (\mathbf  E) = \varepsilon_o \int_{\mathsf{S_2}} \frac {\partial \mathbf E(t)}{\partial t} \cdot d \mathbf {S}

Nonostante non sia costituita dal moto di cariche elettriche reali, tale corrente permette di soddisfare l'equazione di continuità, dal momento che il flusso della densità di corrente di spostamento è pari alla corrente che alimenta il condensatore.[4]

Legge di Ampère-Maxwell[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge di Ampère-Maxwell.

Un campo elettrico variabile nel tempo è sperimentalmente sorgente di un campo magnetico, rendendo necessaria una estensione della legge di Ampère. Inserendo la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità si ottiene:

 \nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)

Come già visto, la densità di corrente di spostamento si annulla nel caso stazionario.[3]

Inserendo la densità di corrente generalizzata nella legge di Ampère nel vuoto:[5][6]

 \mathbf { \nabla \times B} = \mu_0 \left(\mathbf J +\varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}\right)

si ottiene la legge di Ampère-Maxwell nel vuoto.[7].

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Jackson, op. cit., Pag. 238
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 239
  3. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 397
  4. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 400
  5. ^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas, Taylor & Francis, 1995, p. 16. ISBN 1857282418.
  6. ^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84. ISBN 0486622630.
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 398

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2.
  • John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

elettromagnetismo Portale Elettromagnetismo: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di elettromagnetismo