Polarizzazione elettrica

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In fisica, la polarizzazione elettrica nei materiali è un termine utilizzato per descrivere la formazione di dipoli elettrici all'interno di un materiale, costituiti dalla carica elettrica posseduta dagli atomi e dalle molecole di cui esso è composto, in seguito all'applicazione di un campo elettrico.[1] La polarizzazione elettrica si manifesta in particolare nei materiali isolanti, e genera la presenza di un campo elettrico aggiuntivo all'interno di essi.

Polarizzazione elettrica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Dipolo elettrico e Polarizzabilità.

I dielettrici sono materiali elettricamente neutri e non contengono cariche elettriche libere. La polarizzazione di un dielettrico è la formazione di un dipolo orientato in modo tale da contrastare il campo elettrico esterno: tale dipolo è dato dalle deformazioni della struttura elettronica microscopica degli atomi attorno alla posizione di equilibrio, oppure dal loro orientamento. Questo rende possibile la distinzione di due tipi di polarizzazione: la polarizzazione per deformazione e la polarizzazione per orientamento.

Esistono inoltre alcuni materiali dielettrici particolari, cosiddetti ferroelettrici, che mantengono la polarizzazione anche quando lo stimolo esterno viene a mancare: questi materiali hanno solitamente proprietà piezoelettriche.

Polarizzazione per deformazione[modifica | modifica wikitesto]

Gli elettroni possono deformare i propri orbitali spostando leggermente la propria posizione rispetto ai nuclei, formando un dipolo di piccolissima intensità per ogni atomo del materiale: la somma dei dipoli microscopici produce il dipolo totale del solido. Tale fenomeno consiste nel fatto che il nucleo, positivo, subisce una forza elettrica approssimativamente proporzionale al microcampo elettrico all'interno del materiale chiamato campo locale, creando così un momento di dipolo non nullo:[2]

\mathbf p = \alpha_d \mathbf E_l

dove \alpha_d è il coefficiente detto di polarizzabilità elettronica per deformazione. Il campo elettrico locale \mathbf E_l è il campo agente sull'atomo considerato e non comprende il contributo dell'atomo stesso.

Polarizzazione per orientamento[modifica | modifica wikitesto]

Molte molecole, in particolare quelle caratterizzate da una configurazione non simmetrica, sono dotate di un momento di dipolo intrinseco. Esso è dovuto sia al tipo di legame, sia all'asimmetria della molecola, ed è mediamente nullo dal momento che per un grande numero di molecole l'orientazione dei singoli dipoli è distribuita in maniera casuale. Se è presente un campo elettrico esterno, i momenti di dipolo si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero.[3]

Il calcolo del valore medio dei momenti di dipolo si effettua con la funzione di Boltzmann, dalla quale si ottiene:[4]

\langle \mathbf p \rangle = \frac {p_{0}^{2} \mathbf E_l} {3KT} = \alpha_o \mathbf E_l

dove K è la costante di Boltzmann, T è la temperatura in kelvin, \mathbf p_0 è il momento di dipolo intrinseco e \alpha_o è il coefficiente di polarizzabilità elettronica per orientamento.

Polarizzazione nei materiali[modifica | modifica wikitesto]

A seconda dello stato di aggregazione degli atomi e delle loro caratteristiche, la polarizzazione elettrica in gas, liquidi e nei solidi cristallini si differenzia notevolmente.

Polarizzazione nei gas[modifica | modifica wikitesto]

Nelle sostanze gassose il campo locale è approssimabile al campo macroscopico, in quanto l'interazione fra le molecole in un gas è debole. Il legame tra il vettore polarizzazione elettrica e il campo elettrico è sostanzialmente lineare, ed approssimativamente si ha solo polarizzazione per orientamento:

\mathbf P = n \alpha_o \mathbf E

dove n è il numero medio di molecole per unità di volume.

Polarizzazione nei liquidi[modifica | modifica wikitesto]

Il comportamento dei liquidi rende necessario distinguere tra liquidi polari e non polari:

Liquidi polari[modifica | modifica wikitesto]

Per i liquidi polari si ha un effetto di polarizzazione sia per orientamento che per deformazione:[5]

\mathbf P = n \alpha \mathbf E

dove:

\alpha = \alpha_o + \alpha_d \
Liquidi non polari[modifica | modifica wikitesto]

Per i liquidi non polari si usa, sotto opportune approssimazioni, la relazione di Lorentz tra il campo elettrico locale e campo elettrico esterno:[6]

\mathbf E_l = \mathbf E + \frac {\mathbf P} {3\varepsilon_0}
\mathbf P = n \alpha \left (\mathbf E + \frac {\mathbf P} {3\varepsilon_0} \right) = \left ( \frac {n \alpha} { \left (1 - \frac {n\alpha}{3\varepsilon_0} \right )} \right) \mathbf E = \varepsilon_0 \chi \mathbf E

dove:

\chi = \frac {n \alpha} {\varepsilon_0 \left (1 - \frac {n\alpha}{3\varepsilon_0} \right )} = \varepsilon_r - 1

è chiamata suscettività elettrica, mentre \varepsilon_r è la permittività elettrica relativa relativa al materiale.

Polarizzazione nei solidi cristallini[modifica | modifica wikitesto]

All'interno dei metalli gli elettroni di valenza sono in generale liberi di muoversi liberamente all'interno del solido. Se il metallo viene immerso in un campo elettrico si forma una densità di carica superficiale tale da schermare il campo esterno, e si osserva una corrente che scorre nello stesso senso del campo per un brevissimo periodo di tempo, dopo il quale il metallo ritorna alla condizione precedente alla perturbazione eccetto che sulla superficie. La quantità di carica libera è solitamente tale da schermare qualsiasi campo elettrico costante applicato, e la polarizzabilità elettrica per i metalli è approssimabile a zero.

I materiali semiconduttori, invece, a temperatura ambiente presentano un comportamento metallico per campi elettrici di bassa intensità ed un comportamento dielettrico per campi elettrici più forti. La costante dielettrica per i semiconduttori è solitamente molto alta: 13.8 per il silicio, circa 14 per il germanio.

Nei solidi cristallini, infine, il legame tra il vettore polarizzazione elettrica e il campo elettrico esterno dipende anche dalla direzione del campo, e quindi la relazione è la più generale possibile:[7]

 \mathbf P = \alpha \mathbf E

Le cui componenti sono:

\begin{cases} P_x = \alpha_{11} E_x + \alpha_{12} E_y + \alpha_{13} E_z \\ P_y = \alpha_{21} E_x + \alpha_{22} E_y + \alpha_{23} E_z \\ P_z = \alpha_{31} E_x + \alpha_{32} E_y + \alpha_{33} E_z \end{cases}

dove:

|| \alpha || = \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{bmatrix}

è il tensore di polarizzazione. Se i suoi elementi sono tutti costanti il dielettrico si dice perfetto, mentre se si riducono ad uno scalare si dice isotropo.

Vettore polarizzazione elettrica[modifica | modifica wikitesto]

L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore intensità di polarizzazione, anche detto vettore di polarizzazione elettrica e indicato con \mathbf  P, è il dipolo elettrico per unità di volume posseduto dal materiale. Definito come il valore medio del momento di dipolo elettrico proprio \mathbf p di N particelle contenute in un volume infinitesimo dv, è espresso dalla relazione:[8]

\mathbf  P = \lim_{\Delta V \to 0} \frac {\Delta N}{\Delta V} \langle \mathbf p \rangle =\lim_{\Delta V \to 0} \frac { \sum_{i=1}^{\Delta N} {\mathbf  p_i}}{\Delta V}

Nella definizione il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi tale da poterne calcolare una proprietà media. Il potenziale elettrico associato al campo elettrico generato in un punto \mathbf r dalla polarizzazione del materiale è la somma dei contributi forniti da ogni elemento di volume dv di materiale posto nel punto \mathbf r. Integrando su tutto lo spazio si ottiene dunque:[9]

V_P (\mathbf  r ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{V} \frac {\mathbf P \cdot \Delta \mathbf  r }{|\Delta \mathbf  r |^3} \operatorname dv

dove \operatorname d \mathbf  p = \mathbf  P \operatorname dv è il momento di dipolo posseduto dal volume infinitesimo dV di materiale e \Delta \mathbf  r = |\mathbf  r' - \mathbf  r| la differenza vettoriale tra la posizione \mathbf r del volume elementare e il punto \mathbf r in cui è calcolato il potenziale.

Il vettore di polarizzazione, in quanto sorgente di un campo elettrico, deve essere legato ad una certa densità di carica microscopica. Per il teorema di Ostrogradskij infatti:

V_P (\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \oint_{\partial V} \frac {\mathbf P}{|\Delta \mathbf r|} \cdot \operatorname d \mathbf s + \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{V} \frac {- \mathbf \nabla \cdot \mathbf P}{|\Delta \mathbf r|} \operatorname dv

Confrontando tale espressione con quella del potenziale generato da una distribuzione di carica superficiale e volumica, si evince che la polarizzazione nei dielettrici è descritta da una certa densità di carica di polarizzazione superficiale \sigma_p e volumica \rho_p legata al vettore di polarizzazione elettrica da:[10]

 \sigma_P = \mathbf P \cdot \frac {\operatorname d \mathbf s}{\operatorname ds} \qquad \rho_P = - \mathbf \nabla \cdot \mathbf P

La polarizzazione del materiale si manifesta quindi attraverso la modifica della distribuzione di carica associata agli atomi e le molecole che compongono il materiale stesso, la quale è sorgente di un campo aggiuntivo presente all'interno del materiale. Questo è dovuto al fatto che sotto l'azione di un campo elettrico esterno si generano o si orientano i dipoli microscopici presenti nel materiale, costituiti dalla carica elettrica di atomi o molecole. Nel momento in cui un campo esterno separa spazialmente il nucleo dalla nuvola elettronica di un atomo, da un oggetto neutro si genera un dipolo, costituito da due cariche uguali in modulo ed opposte in segno. Allo stesso modo, l'orientazione collettiva dei dipoli molecolari genera una distribuzione di carica regolare e non più casuale, che genera un campo non mediamente nullo.

L'azione di un campo elettrico esterno, quindi, genera un campo aggiuntivo all'interno del materiale, dovuto alla modifica della distribuzione di carica nel materiale: se il vettore di polarizzazione è uniforme i singoli dipoli si annullano reciprocamente, e la densità volumica di carica di polarizzazione si annulla. In questa situazione la carica di polarizzazione si manifesta soltanto sulla superficie del dielettrico.

Equazioni di Maxwell per i dielettrici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni di Maxwell e Vettore induzione elettrica.

Introducendo la densità di carica di polarizzazione \rho_P, la prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico, diventa:[11]

\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} (\rho_E + \rho_P) = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho_E -\nabla\cdot\mathbf{P})

dove \rho_E è la densità di cariche libere (o di spostamento) e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumetrica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:

\nabla\cdot (\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}) = \rho_E .

L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:[7]

\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}

E la prima equazione di Maxwell assume la forma:

 \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_D-\rho_P = \rho_f

La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi \mathbf{E} e \mathbf{D} sono equivalenti a meno di un fattore di scala:[12]

\mathbf{D} = \varepsilon_r\varepsilon_0\mathbf{E}

e di conseguenza:

\mathbf{P} = (\varepsilon_r-1)\varepsilon_0\mathbf{E} = \varepsilon_{0} \chi \mathbf{E}

La grandezza \varepsilon_r è la permittività elettrica dielettrica relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale, mentre:

\chi\ = \varepsilon_r - 1

è la suscettività elettrica.

La permittività elettrica (e dunque la suscettività) può essere misurata empiricamente e, a partire dagli anni settanta, viene calcolata anche con l'ausilio dei calcolatori elettronici. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora \varepsilon dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato. In particolare, se il materiale è omogeneo e anisotropo la costante dielettrica diventa una matrice, se non è omogeneo i coefficienti della matrice sono una funzione della posizione, e se non è lineare la costante dielettrica dipende dal campo elettrico, ed in generale anche dal tempo.

Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:

 \mathbf{D(\omega)} = \varepsilon (\omega) \mathbf{E}(\omega)

dove \omega è la frequenza del campo.

Il vettore di polarizzazione per un mezzo non lineare, né omogeneo, né isotropo, dipende a sua volta dal campo attraverso il tensore di polarizzazione.

Dispersione e permittività elettrica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Permittività elettrica.

In un dielettrico perfetto per descrivere la formazione di un dipolo elettrico si assume che le cariche e, costituite da elettroni o ioni di massa m, siano legate agli atomi attraverso una forza \mathbf F di tipo armonico:

\mathbf F = -m \omega_0^2 \mathbf x = - e \mathbf E

dove \omega_0 la frequenza di oscillazione attorno al punto di equilibrio ed \mathbf E il campo applicato. Il momento di dipolo elettrico indotto è dato pertanto dalla relazione:

\mathbf p = e \mathbf x = \frac{e^2}{m \omega_0^2} \mathbf E

Si consideri ora un dielettrico non ideale ed un campo elettrico \mathbf E (\mathbf x , t) oscillante, cioè dipendente dal tempo per mezzo di un fattore e^{i \omega t}. L'equazione del moto per le cariche deve essere modificata in modo da tenere conto degli effetti di smorzamento, che sono in genere proporzionali alla velocità per mezzo di una costante di smorzamento \gamma. Si ha pertanto:

\mathbf F = m \ddot \mathbf x = -m\gamma \dot \mathbf x -m \omega_0^2 \mathbf x - e \mathbf E (\mathbf x , t)

e l'equazione del moto assume pertanto la forma:[13]

 m [\ddot \mathbf x + \gamma \dot \mathbf x + \omega_0^2 \mathbf x ] = - e \mathbf E (\mathbf x , t)

Grazie alla dipendenza e^{i \omega t} del campo si può porre \mathbf x = \mathbf x_0 e^{i \omega t}. Inserendo le derivate di \mathbf x nell'equazione del moto si ottiene:

 \mathbf x = \frac{e}{m (\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega \gamma)} \mathbf E \qquad \mathbf p = - e \mathbf x = \frac{e^2}{m (\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega \gamma)} \mathbf E

Si supponga vi siano N molecole per unità di volume con Z elettroni ciascuna, e si ponga che per ogni molecola vi siano f_j elettroni per molecola legati da una forza armonica con frequenza \omega_j e costante di smorzamento \gamma_j. In tale situazione la permittività elettrica è data da:[14]

 \frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \chi_e = 1 + \frac{N e^2}{\varepsilon_0 m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma} \qquad \sum_j f_j = Z

Si nota che nei materiali conduttori la frequenza \omega = 0 è risonante. Il valore di \varepsilon (\omega) è solitamente reale, eccetto nel range prossimo alle frequenze di risonanza, in cui la parte reale del denominatore si avvicina a zero.

  • Si definisce dispersione normale la dispersione in una regione dello spettro lontana dalle frequenze di risonanza, in cui la parte reale di \varepsilon (\omega) aumenta al crescere di \omega.
  • Si definisce dispersione anomala la dispersione in prossimità dalle frequenze di risonanza, in cui la parte reale di \varepsilon (\omega) decresce al crescere di \omega. In tal caso la parte immaginaria di \varepsilon (\omega) è significativa, e rappresenta l'energia che il mezzo cede al materiale. Tale fenomeno è detto assorbimento risonante.

Causalità[modifica | modifica wikitesto]

La polarizzazione di un materiale in risposta ad un campo elettrico non è in generale istantanea. Il fatto che la permittività elettrica dipenda dalla frequenza implica che la relazione tra i campi \mathbf E e \mathbf D, data da:

\mathbf D (\mathbf x , \omega) = \varepsilon (\omega) \mathbf E (\mathbf x , \omega)

è temporalmente non-locale. Considerando la rappresentazione per mezzo della trasformata di Fourier:

\mathbf D (\mathbf x , t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf D (\mathbf x , \omega) e^{-i \omega t} d \omega \qquad \mathbf D (\mathbf x , \omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf D (\mathbf x , t') e^{i \omega t'} d t'

ed inserendola nella precedente relazione insieme all'analoga rappresentazione di Fourier per \mathbf E si ottiene, ponendo che si possa invertire l'ordine di integrazione:[15]

\mathbf D (\mathbf x , t) = \varepsilon_0 \left[ \mathbf E (\mathbf x , t) + \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t') \mathbf E (\mathbf x , t-t')dt' \right]

dove \chi(t') è la trasformata di Fourier di \chi(\omega):

\chi(t') = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \chi (\omega) e^{-i \omega t'} d \omega = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\varepsilon(\omega)}{\varepsilon_0} -1 \right) e^{-i \omega t'} d \omega

I campi \mathbf D ed \mathbf E sono dunque funzione di t in due tempi diversi, in quanto il campo che si manifesta nel materiale al tempo t in seguito alla polarizzazione atomica e molecolare dipende dal campo esterno \mathbf E ad un diverso istante temporale.

Si consideri un modello per la permittività elettrica in cui vi sia una sola frequenza di risonanza. In tale contesto si ha:

 \frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \chi_e = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma}

La trasformata della suscettività elettrica assume in tal caso la forma:[16]

 \chi(t') = \frac{\omega_p^2}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i \omega t'}}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma}d\omega = \omega_p^2 e^{-\frac{\gamma t'}{2}} \frac{\sin (\nu_0 t')}{\nu_0}\theta(t') \qquad \nu_0^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4}

dove \theta(t') è la funzione gradino. La funzione  \chi(t') oscilla con uno smorzamento dato dal termine esponenziale, in cui compare la costante di smorzamento della forza armonica che agisce sulle cariche. La presenza della funzione gradino garantisce il rispetto del principio di causalità, poiché annulla  \chi(t') per tempi negativi. Si giunge in questo modo all'espressione più generale che lega i campi \mathbf D ed \mathbf E in un mezzo uniforme ed isotropo:[17]

\mathbf D (\mathbf x , t) = \varepsilon_0 \left[ \mathbf E (\mathbf x , t) + \int_{0}^{\infty} \chi(t') \mathbf E (\mathbf x , t-t')dt' \right]

dove l'integrazione avviene a partire da t'=0. Si tratta di una relazione causale, spazialmente locale e lineare.

La permittività elettrica è espressa attraverso la relazione:

 \frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \int_{0}^{\infty} \chi(t')e^{i \omega t'}dt'

dalla quale si evince che se la suscettività è finita ad ogni tempo e si annulla ad un tempo infinito, allora la permittività elettrica è una funzione analitica nel semipiano superiore del piano complesso. Tali caratteristiche permettono ad \widehat{\varepsilon}(\omega) di soddisfare le relazioni di Kramers-Kronig:[18]

 \Re \left[\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} \right] = 1 + \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Im \left(\frac{\varepsilon (\omega')}{\varepsilon_0} \right)}{\omega' - \omega} d\omega' \qquad \Im \left[\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} \right] = - \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Re \left( \frac{\varepsilon (\omega')}{\varepsilon_0}\right) - 1 }{\omega' - \omega} d\omega'

dove \mathcal{P} denota il valore principale di Cauchy. La parte reale caratterizza l'energia immagazzinata nel mezzo, mentre la parte immaginaria descrive la dissipazione di energia nel mezzo. In particolare, se la parte immaginaria di è positiva il campo cede energia al materiale, mentre se è negativa è il mezzo a fornire energia al campo.

Il vettore di polarizzazione risulta pertanto essere una funzione dipendente dal tempo:

\mathbf{P}(t)=\varepsilon_0 \int_{-\infty}^t \chi(t-t') \mathbf{E}(t')\, dt'

Tale definizione è generale, in quanto tiene conto della non-località della relazione tra \mathbf{P} ed \mathbf{E}: la polarizzazione è la convoluzione del campo elettrico a tempi precedenti con la suscettività dipendente dal tempo \chi(t-t').

In un sistema lineare è conveniente considerare la trasformata di Fourier e scrivere la precedente relazione nel dominio della frequenza, nel quale per il teorema di convoluzione il prodotto di convoluzione di due funzioni viene espresso con il prodotto semplice delle rispettive trasformate:

\mathbf{P}(\omega)=\varepsilon_0 \chi(\omega) \mathbf{E}(\omega)

La dipendenza dalla frequenza della suscettività determina la dipendenza dalla frequenza della permittività, e l'andamento della suscettività rispetto alla frequenza caratterizza le proprietà dispersive del materiale.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 129
  2. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 130
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 132
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 133
  5. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 139
  6. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 140
  7. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, Pag. 142
  8. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 134
  9. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 136
  10. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 137
  11. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 141
  12. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 143
  13. ^ Jackson, Pag. 309
  14. ^ Jackson, Pag. 310
  15. ^ Jackson, Pag. 330
  16. ^ Jackson, Pag. 331
  17. ^ Jackson, Pag. 332
  18. ^ Jackson, Pag. 334

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

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