Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Definizione

Il tensore di Einstein è definito come

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} -\frac R2g_{\mu\nu}.$

In questa espressione $R_{\mu\nu}$ è il tensore di Ricci, $g_{\mu\nu}$ è il tensore metrico e $R$ è la curvatura scalare.

Proprietà

Derivata covariante

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

$\nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0$

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

$\nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu} + \nabla_\rho R_{\sigma \lambda \mu \nu } + \nabla_\sigma R_{\lambda \rho \mu \nu} = 0, \,\!$

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

$g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}(\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu} + \nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu} + \nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}) = 0$

e otteniamo

$\nabla^\mu R_{\rho\mu} -\nabla_\rho R +\nabla^\nu R_{\rho\nu} = 0.$

In altre parole:

$2\nabla^{\mu}R_{\rho\mu} - \nabla_\rho R = 0.$

Traccia

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare $R$. La traccia $G$ del tensore di Einstein in dimensione $n$ può essere calcolata nel modo seguente:

$\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {{2-n}\over2}R\end{align}$

In dimensione $n=4$ il tensore di Einstein ha quindi traccia $-R$, opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione $n=2$ (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

Voci correlate

• Tensore di curvatura di Ricci
• Equazione di campo di Einstein

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