Tensore di Einstein

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Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il tensore di Einstein è definito come

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} -\frac R2g_{\mu\nu}.

In questa espressione R_{\mu\nu} è il tensore di Ricci, g_{\mu\nu} è il tensore metrico e R è la curvatura scalare.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Derivata covariante[modifica | modifica sorgente]

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

 \nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:


\nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu}  + \nabla_\rho R_{\sigma \lambda \mu \nu }  + \nabla_\sigma R_{\lambda \rho \mu \nu}  = 0, \,\!

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

 g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}(\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu} + \nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu} + \nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}) = 0

e otteniamo

 \nabla^\mu R_{\rho\mu} -\nabla_\rho R +\nabla^\nu R_{\rho\nu} = 0.

In altre parole:

 2\nabla^{\mu}R_{\rho\mu} - \nabla_\rho R = 0.

Traccia[modifica | modifica sorgente]

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare R. La traccia G del tensore di Einstein in dimensione n può essere calcolata nel modo seguente:

\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {{2-n}\over2}R\end{align}

In dimensione n=4 il tensore di Einstein ha quindi traccia -R, opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione n=2 (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]