Curvatura scalare

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In geometria differenziale la curvatura scalare (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia M una varietà riemanniana o varietà pseudo-riemanniana. La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di M un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

R = g^{ij}R_{ij}.

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo (0,2), ovvero una forma bilineare. La curvatura scalare è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico g, presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo (0,0), ovvero una funzione.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Simboli di Christoffel[modifica | modifica sorgente]

In un sistema di coordinate, la curvatura scalare dipende dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali nel modo seguente:

R = g^{ab} \left(\frac{\partial\Gamma^c_{ab}}{\partial x_c} - \frac{\partial\Gamma^c_{ac}}{\partial x_b} + \Gamma^c_{ab}\Gamma^d_{cd} - \Gamma^d_{ac} \Gamma^c_{bd}\right)

Volume[modifica | modifica sorgente]

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto p della varietà riemanniana M ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello spazio euclideo. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio \varepsilon è dato da

 \frac{\operatorname{Vol} (B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}  
 (B_\varepsilon(0)\subset  {\mathbb R}^n)}=
 1- \frac{R}{6(n+2)}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)

La derivata seconda di questo rapporto, valutata in \varepsilon = 0 , è esattamente

-\frac R{3(n+2)}.

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle (n-1)-sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

 \frac{\operatorname{Area}   (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}  
 (\partial B_\varepsilon(0)\subset  {\mathbb R}^n)}=
 1- \frac{R}{6n}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)

Oggetto riemanniano[modifica | modifica sorgente]

A differenza del tensore di Riemann e del tensore di Ricci, la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico g per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle connessioni.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Superficie[modifica | modifica sorgente]

In una superficie la curvatura scalare è pari alla curvatura gaussiana K moltiplicata per due:

 R = 2K.

Sfera[modifica | modifica sorgente]

La curvatura scalare di una ipersfera S^n di raggio r è costante in ogni punto, ed è pari a

\frac {n(n-1)}{r^2}.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0471157333.


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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