Azione di Einstein-Hilbert

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L'azione di Einstein-Hilbert (nota anche come azione di Hilbert, proposta per la prima volta nel 1915) nella relatività generale permette di dedurre l'equazione di campo, utilizzando un principio di azione stazionaria.

Questo principio, applicato all'azione di un sistema meccanico, permette di ottenerne le equazioni di moto: in questo modo, furono dedotte le funzioni lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica.

L'azione di Einstein-Hilbert è data da:

S= - {1 \over 2\kappa}\int R \sqrt{-g} \, d^4x \;,

dove:

g=\det(g_{\mu\nu}) è il determinante del tensore metrico,
R è lo scalare di Ricci,
\kappa = 8\pi Gc^{-4}, con G costante di gravità e c è la velocità della luce nel vuoto.

L'integrale è calcolato lungo l'intero spazio-tempo, se converge. Se lo spazio-tempo diverge, S non è più definito, ma esiste una definizione modificata dove l'integrale è esteso lungo uno o più intorni grandi a piacere e relativamente compatti, così da dedurre l'equazione di campo attraverso l'equazione di Eulero-Lagrange applicata all'azione di Einstein-Hilbert.

Discussione[modifica | modifica sorgente]

La deduzione delle equazioni a partire da azioni fisiche presenta diversi vantaggi. in primo luogo, permette l'unificazione con altre teorie di campo, che sono anch'esse formulate in termini di azioni fisiche, quali la teoria di Maxwell.
Inoltre, l'azione facilita l'identificazione delle grandezze costanti, tramite lo studio delle simmetrie delle azioni col Teorema di Noether.

Nella relatività generale, l'azione è trattata come una funzione matematica della metrica (e dei campi di materia), e la connessione è quella di Levi-Civita.
Nella formulazione di Palatini, metrica e connessione sono indipendenti tra loro, e l'azione varia rispetto a entrambe, prese indipendentemente. In questa formulazione si utilizza una identità notevole detta identità di Palatini, che esprime la variazione del tensore di Ricci in funzione della derivata covariante della variazione della connessione di Levi-Civita.[1]

L'eventuale azione dovuta alla presenza di materia, viene sommata ai termini dell'equazione di campo dedotti dall'azione di Einstein-Hilbert.

Derivazione delle equazioni di campo di Einstein[modifica | modifica sorgente]

Si ipotizzi che la'zione totale sia data dal termine di Einstein-Hilbert più un termine \mathcal{L}_\mathrm{M}, che descrive qualsiasi campo di materia che compaia durante la teoria. allora:

S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \, R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

Per il principio di azione-reazione, la variazione a seguito di un'azione e rispetto alla sua metrica inversa, è zero. Quindi:


\begin{align}
0 & = \delta S \\
  & = \int 
         \left[ 
            {1 \over 2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + 
            \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
         \right] \delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\
  & = \int 
        \left[ 
           {1 \over 2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} +
             \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } 
            \right) +
           \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} 
        \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x.
\end{align}

che è valida per ogni \delta g^{\mu\nu}, per cui:

  \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} 
= - 2 \kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}},

che è l'equazione di moto del campo metrico.

Il membro destro di questa equazione è (per definizione) proporzionale al Tensore energia impulso:

 T_{\mu\nu}:=  \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} 
= -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

Per calcolare la parte sinistra dell'equazione, invece, abbiamo necessità della variazione dello scalare di Ricci R, e del determinante del tensore metrico.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A. Palatini (1919) Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton, Rend. Circ. Mat. Palermo 43, 203.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, J. Wiley, 1972. ISBN 0-471-92567-5

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]