Equazioni di Navier-Stokes

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MECCANICA CLASSICA
Meccanica del continuo

In fluidodinamica le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono il comportamento di un fluido stokesiano. L'ipotesi di base è che il fluido possa essere modellato come un continuo, quindi il modello perde di validità nello studio di un gas rarefatto.

Le equazioni debbono il loro nome a Claude-Louis Navier e a George Gabriel Stokes che le formalizzarono e la loro soluzione analitica generale rappresenta attualmente uno dei problemi irrisolti della matematica moderna (i cosiddetti 7 problemi per il millennio) per il quale vale il premio Clay; soluzioni analitiche particolari si hanno in casi estremamente semplificati mentre soluzioni approssimate si ottengono tipicamente ricorrendo a metodi propri dell'analisi numerica e all'uso congiunto del calcolatore.

Queste equazioni rappresentano l'approssimazione di Chapman-Enskog del prim'ordine delle equazioni di bilancio canoniche (sono quindi più generali delle equazioni di Eulero, che costituiscono l'approssimazione precedente, e più particolari delle equazioni di Burnett che costituiscono quella successiva). Le relazioni costitutive che contengono sono anch'esse lineari: la legge di Newton e la legge di Fourier.

Il modello matematico[modifica | modifica sorgente]

La maggiore efficienza predittiva di tali equazioni rispetto a quello di Eulero viene pagata in termini di difficoltà di soluzione. Nel caso generale coinvolgono infatti cinque equazioni scalari differenziali alle derivate parziali e 20 variabili. Il bilancio tra equazioni e incognite avviene (come vedremo più avanti) con la definizione delle proprietà del fluido considerato, delle eventuali forze di campo in gioco e con considerazioni matematiche. Inoltre, a causa della loro non linearità, le equazioni di Navier-Stokes non ammettono quasi mai una soluzione analitica (ovvero una soluzione esatta), ma esclusivamente numerica (una soluzione approssimata con un metodo numerico).

Le equazioni di Navier-Stokes sono in grado di descrivere completamente qualsiasi flusso fluido, anche turbolento. In particolare per un flusso turbolento, dove cioè le traiettorie delle particelle di flusso non sono più costanti nel tempo, un approccio numerico di calcolo è chiamato generalmente simulazione numerica diretta. A causa del fatto che le risorse di calcolo necessarie alla loro risoluzione crescono con il numero di Reynolds (quasi con Re³) e che tale numero può avere valori dell'ordine di 106-109, tale approccio resta tecnicamente impossibile. In alternativa alla simulazione numerica è possibile adottare sistemi meno onerosi quali la formulazione LES o le equazioni mediate.

Le equazioni vengono completate dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali (condizioni imposte all'inizio temporale del fenomeno da studiare). Possono inoltre essere integrate dall'equazione di stato dei gas perfetti e dalle equazioni di conservazione delle singole specie gassose nel caso di una miscela di gas.

La soluzione delle equazioni fornisce il campo delle velocità del fluido. Da questo sarà poi possibile risalire a tutte le altre grandezze che caratterizzano il flusso.

Ipotesi del modello[modifica | modifica sorgente]

Il modello matematico che permette l'analisi della dinamica dei fluidi si basa sulle seguenti caratteristiche:

  • sistema continui;
  • sistema chimicamente omogeneo e non reagente;
  • sistema privo di cariche elettriche.
  • sistema continuo a tensione fluida.

Continuità[modifica | modifica sorgente]

Se il numero di Knudsen è molto minore di uno, allora è possibile considerare il fluido come continuo e far tendere a zero un volume di fluido, senza che questo possa restare privo di materia.

\mathrm{Kn} \ll 1

Altrimenti sarà necessario utilizzare un modello statistico, ovvero equazioni come l'equazione di Boltzmann nella teoria cinetica dei gas.

Omogeneità chimica e inerzia chimica[modifica | modifica sorgente]

Verranno trascurate le perturbazioni dovute alla non omogeneità del flusso ed alle reazioni chimiche. Ciò non sarà del tutto possibile per flussi reagenti quali quelli all'interno di una camera di combustione ad esempio.

Assenza di cariche elettriche[modifica | modifica sorgente]

Verranno trascurate le perturbazioni dovute al campo elettromagnetico. L'interazione di flussi con campi elettromagnetici è studiata dalla magnetofluidodinamica.

Tensione fluida[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi tensore degli sforzi, relazioni costitutive#Fluidi di Stokes e fluidi newtoniani e tensione interna.

Nel caso statico, cioè di quiete, a differenza della meccanica dei solidi, in base alla legge di Pascal la tensione sarà puramente normale: ciò comporterà che essa sia rappresentabile attraverso una matrice diagonale e quindi coincida con la diagonale della tensione nel caso più generale; inoltre supporremo valido in principio di Pascal, quindi il tensore sarà esprimibile in termini della pressione nella forma:

\bar \bar \sigma(\langle \bar v \rangle=0) = p \bar \bar 1

Nel moto in assenza di pressione invece in base alla legge di Newton l'attrito tra strati adiacenti con differente velocità darà luogo a tensioni di taglio, quindi il tensore sarà a diagonale nulla. Questo rappresenta quindi la parte deviatorica della tensione nel caso più generale. Troncando lo sviluppo di Mac Laurin al prim'ordine la tensione deviatorica si suppone proporzionale alla parte antisimmetrica del gradiente di velocità o velocità di deformazione: questa è la differenza significativa dal caso di solido elastico per cui la tensione viene fatta dipendere in base alla legge di Hooke essenzialmente dalla deformazione definendo la costante di proporzionalità viscosità di superficie μ:

\bar \bar \sigma(p=0) = \mu \left(\nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \langle \bar v \rangle^T - (1 - \frac {1}{\dim(\bar r)}) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle \bar \bar 1 \right)[1]

In realtà l'equazione sopra vale per fluidi densi, e per gas monoatomici. Più in generale dovremo introdurre una viscosità di volume η:

\bar \bar \sigma(p=0) = \mu \left(\nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \langle \bar v \rangle^T - (1 - \frac {1}{\dim(\bar r)}) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle \bar \bar 1 \right) + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle \bar \bar 1 [1].

Nel caso più generale di moto in tensione per un fluido avremo la sovrapposizione dei due tipi di tensione:

\bar \bar \sigma = p \bar \bar 1 + \mu \nabla \langle \bar v \rangle + \mu \nabla \langle \bar v \rangle^T + \left(\eta - \mu(1 - \frac {1}{\dim(\bar r)})\right) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle \bar \bar 1

Ovviamente nel caso di interesse fisico lo spazio di riferimento è tridimensionale, quindi il coefficiente alla divergenza è η - 2/3 μ.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni di Navier-Stokes sono la formalizzazione matematica di tre principi fisici ai quali i fluidi rispondono, imposta la condizione di continuo deformabile:

Per questo motivo sono spesso nominate anche equazioni di bilancio.

Nei successivi paragrafi indicheremo sempre il vettore velocità del fluido con la notazione  \bar u , mentre p e ρ indicheranno rispettivamente la pressione statica e la densità del fluido stesso. Il simbolo  \bar a rappresenterà il vettore delle accelerazioni di campo.

Descrizione del moto lagrangiana ed euleriana[modifica | modifica sorgente]

Indicando le coordinate iniziali come (a; b; c; 0), le coordinate della particella sono variabili dipendenti dal tempo:

\begin{cases} x = x (a; b; c; t) \\ y = y (a; b; c; t) \\ z = z (a; b; c; t) \end{cases}

perciò è possibile descrivere altre proprietà specifiche come temperatura, velocità, sforzo meccanico, che sono funzioni multivariabile dipendendo da coordinate spaziali e temporali, attraverso due punti di vista analitici: quello alle derivate lagrangiane temporali e quello alle derivate parziali temporali.

Il primo, detto lagrangiano o materiale, corrisponde fisicamente ad un sistema solidale ad ogni filetto fluido, identificata solitamente dalle sue coordinate iniziali.

Il secondo punto di vista, euleriano o geometrico, osserva viceversa in una posizione fissa (x; y; z) un cosiddetto volume di controllo. Le coordinate spaziali (assieme alla variabile temporale) saranno perciò considerabili in modo indipendente da quella temporale.

Teorema del trasporto di Reynolds[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi teorema del trasporto di Reynolds.

Per comodità di trattazione riportiamo il teorema del trasporto di Reynolds, che, per una proprietà:

A = A (x;y;z;t)

contenuta in un volume arbitrario V di frontiera dV, che si muova con il fluido, è indicato come:

 \frac{d}{dt} \int_{V(t)} A \, \operatorname dr^3 = \int_{V(t)} \frac{\partial A}{\partial t} \, \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V(t)} A \bar v \cdot \operatorname d \bar {r^2} .

Ricordando il teorema della divergenza è possibile esprimere la precedente anche come:

 \frac{d}{dt} \int_{V(t)} A \, \operatorname dr^3 = \int_{V(t)} \left( \frac{\partial A}{\partial t} + \nabla \cdot \left( A \bar v \right) \right) \, \operatorname dr^3

e ricordando che:

 \nabla \cdot \left( A \bar v \right) = \left( \bar v \cdot \nabla \right) A + A \nabla \cdot \bar v

nonché la definizione di derivata lagrangiana, è possibile esprimere il teorema in una forma molto utile:

 \frac{D}{Dt} \int_{V(t)} A \, \operatorname dr^3 = \int_{V(t)} \left( \frac{DA}{Dt} + A \nabla \cdot \bar v \right) \, \operatorname dr^3.

Equazione di continuità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi legge della conservazione della massa (fisica).

Punto di vista lagrangiano[modifica | modifica sorgente]

Il principio di conservazione della massa, nel caso di moto di un fluido, può essere espresso dal punto di vista lagrangiano affermando che:

« resta invariata nel tempo la massa contenuta in un volume (deformabile) che si muove con il fluido. »

In questo caso dunque, in forma lagrangiana:

 \frac{Dm}{Dt} = \frac{D}{Dt} \int_{V(t)} \rho \, \operatorname dr^3 = 0 \, .

Applicando il teorema del trasporto di Reynolds all'integrale della densità ρ, otteniamo l'equazione di continuità in forma differenziale lagrangiana:

 \frac{D \rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \langle \bar v \rangle = 0

Punto di vista euleriano[modifica | modifica sorgente]

Lo stesso principio di conservazione, dal punto di vista euleriano, può essere così espresso:

« la variazione di massa contenuta in un volume fisso eguaglia la corrente di massa netta attraverso la sua frontiera. »

Un generico flusso di massa per unità di superficie, che passi attraverso una coppia di facce P e Q di un volume, è considerato come il prodotto tra la densità ρ del fluido, la componente della velocità media in direzione perpendicolare alla faccia considerata e l'area della faccia medesima.

Considerando l'ipotesi di elemento infinitesimo possiamo approssimare il valore del flusso nel punto centrale di ogni faccia con il suo valore medio e calcolare il valore del flusso su una faccia a partire dal valore assunto sulla faccia precedente tramite una serie di Taylor troncata al primo ordine:

 \Phi_{P_x} = \rho \langle \bar v \rangle \, dy dz \qquad \Phi_{Q_x} = \rho \langle v_x \rangle  \, dy dz +\frac {\partial \rho \langle \bar v \rangle} {\partial x}  \, dx dy dz

dove con Px e Qx si sono indicate le facce normali (cioè perpendicolari) alla direzione x. Seguendo l'enunciato del principio, ovverosia calcolando la differenza dei flussi, otteniamo:

 \Phi_x = \Phi_{Q_x} - \Phi_{P_x} = \rho \langle \bar v \rangle  \, dy dz + \frac {\partial \rho \langle \bar v \rangle} {\partial x} \, dx dy dz -\rho \langle \bar v \rangle  \, dy dz = \frac {\partial \rho \langle \bar v \rangle } {\partial x} \, dx dy dz

Estendendo il ragionamento alle altre direzioni spaziali otteniamo che il flusso netto sarà uguale a:

 \Phi = \left( \frac {\partial \rho \langle v \rangle _x} {\partial x} + \frac {\partial \rho \langle v \rangle _y} {\partial y} + \frac {\partial \rho \langle v \rangle _z} {\partial z} \right) \, dx dy dz = \left[ \nabla \cdot \left( \rho \langle \bar v \rangle \right) \right] \, dx dy dz.

Ponendo ora la variazione di massa nel tempo uguale all'opposto del flusso netto:

 \frac {\partial \rho} {\partial t} \, dx dy dz = \left[ \nabla \cdot \left( \rho \langle \bar v \rangle \right) \right] \, dx dy dz

si ottiene l'equazione di continuità in forma differenziale euleriana:

 \frac {\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \langle \bar v \rangle \right) = 0

ed infine integrando sul volume di riferimento e applicando il teorema della divergenza si ottiene l'equazione in forma integrale euleriana (espansa):

 \frac {\partial} {\partial t} \int_V \rho \operatorname dr^3= - \oint_{\partial V} \rho \langle \bar v \rangle \cdot \operatorname d \bar{r^2}

ovvero in forma contratta:

\frac {\partial m} {\partial t} = I_m

Equazione di bilancio della quantità di moto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Bilancio della quantità di moto.

Punto di vista lagrangiano[modifica | modifica sorgente]

Il bilancio in forma lagrangiana nel caso della tensione fluida è espresso rispettivamente in forma debole e in forma forte:

\frac{D}{Dt} \int_{V(t)} \rho \langle \bar v  \rangle \, \operatorname dr^3 - \int_{V(t)} \rho \bar g \, \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V(t)} p \, \operatorname d \bar {r^2} + \oint_{\partial V(t)} \mu (\nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \langle \bar v \rangle^T - (1 - \frac {1}{\dim(\bar r)}) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle) \, \operatorname d \bar {r^2} + \oint_{\partial V(t)} \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle \, \operatorname d \bar {r^2} = 0
\frac {D \langle \bar v \rangle}{Dt} + \frac{\nabla p}{\rho} + \frac {\mu}{\rho} \nabla^2 \langle \bar v \rangle^T + \frac {\mu}{\rho} \nabla^2 \langle \bar v \rangle + \frac {\nabla \mu}{\rho} \nabla \langle \bar v \rangle + \frac {\nabla \mu}{\rho} \nabla \langle \bar v \rangle^T - \frac {\nabla \mu}{\rho} (1 - \frac {1}{\dim(\bar r)}) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \frac {\nabla \eta} \rho \nabla \cdot \langle \bar v \rangle - \bar g = \bar 0

Punto di vista euleriano[modifica | modifica sorgente]

Il bilancio in forma euleriana nel caso della tensione fluida è espresso rispettivamente in forma debole e in forma forte:

\frac{\partial}{\partial t} \int_V \rho \langle \bar v \rangle \, \operatorname dr^3 - \int_V \rho \bar g \, \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V(t)} p \, \operatorname d \bar {r^2} + \oint_{\partial V} \rho \langle \bar v \rangle^2 \operatorname d \bar {r^2} + \oint_{\partial V(t)} \mu (\nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \langle \bar v \rangle^T - (1 - \frac {1}{\dim(\bar r)}) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle) \, \operatorname d \bar {r^2} + \oint_{\partial V(t)} \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle \, \operatorname d \bar {r^2}= 0
\frac {\partial \langle \bar v \rangle}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \nabla \langle \bar v \rangle + \frac{\nabla p}{\rho} + \frac {\mu}{\rho} \nabla^2 \langle \bar v \rangle^T + \frac {\mu}{\rho} \nabla^2 \langle \bar v \rangle + \frac {\nabla \mu}{\rho} \nabla \langle \bar v \rangle +\frac {\nabla \mu}{\rho} \nabla \langle \bar v \rangle^T - \frac {\nabla \mu}{\rho} (1 - \frac {1}{\dim(\bar r)}) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \frac {\nabla \eta} \rho \nabla \cdot \langle \bar v \rangle - \bar g = \bar 0

Quest'ultima costituisce un'equazione di Burgers nella velocità.

Fluido non micropolare[modifica | modifica sorgente]

Nel caso in cui il fluido sia non micropolare, cioè con tensore degli sforzi simmetrico, quindi σij = σji, cosicché le nove componenti sono ridotte a sei quantità indipendenti. Ciò è dovuto al fatto che i momenti meccanici agenti sulle facce di un certo volume (per esempio in forma di parallelepipedo rettangolo), rispetto ad un asse k, che passi per il centro del volume, sono:

 \left| M_k \right| = \sigma'_{ij} \, bc \, \frac{a}{2} - \sigma''_{ij} \, bc \left( - \frac{a}{2} \right) + \sigma'_{ji} \, ac \left( - \frac{b}{2} \right) - \sigma'_{ji} \, ac \, \frac{b}{2}

mentre l'equazione del momento meccanico di un moto attorno ad un baricentro di un parallelepipedo è:

 \left| M_k \right| = I_kk \, \omega_z = \rho \, abc \, \frac{a^2 + b^2}{ij} \, \omega_k

dove con Ikk si è indicato il momento d'inerzia attorno all'asse k e con ωk la velocità angolare. Eguagliando le precedenti espressioni si ottiene:

 \rho \, \frac{a^2 + b^2}{ij} \, \omega_z = \frac{\sigma'_{ij} + \bar \bar \sigma''_{ij}}{2} - \frac{\sigma'_{ji} + \bar \bar \sigma''_{ji}}{2} .

Al tendere del volume a 0, le lunghezze a, b e c tenderanno a 0, mentre gli sforzi sulle facce opposte tenderanno ad un valore comune. Resta quindi:

 \sigma_{ij} - \sigma_{ji} = 0

che vale anche per gli altri assi.

Fluidi newtoniani isotropi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi fluido newtoniano.

Un fluido si definisce newtoniano quando la sua viscosità non varia con la velocità e, per questo motivo, la relazione matematica che lega il tensore degli sforzi alle componenti del tensore della velocità di deformazione è lineare.

Desiderando trovare le relazioni che legano sforzi e velocità di deformazione, analizziamo i casi più semplici per poi sommarne gli effetti (grazie alla linearità del problema), ricavando il caso generale.

Il caso più semplice in assoluto sarà il caso statico: come già osservato gli sforzi saranno puramente normali, mentre il tensore delle velocità di deformazione (che indicheremo con \underline{\underline \varepsilon }) è nullo per ipotesi. In termini matematici:

\begin{cases}
\sigma_{ik} = - p \qquad &\mathrm{per \ } i = k \\
\sigma_{ik} = 0 \qquad &\mathrm{per \ } i \ne k .\\
\end{cases}

Consideriamo adesso un flusso in moto, dove però, per un particolare sistema di riferimento cartesiano, gli sforzi siano puramente normali alle superfici di un elemento di forma parallelepipeda (sistema di riferimento degli assi principali di deformazione). Per esempio supponiamo che sia:

\begin{cases}
\sigma_{ik} = 0 \qquad &\mathrm{per \ } i \ne k \\
\sigma_{11} > \sigma_{22} = \sigma_{33} \, .\\
\end{cases}

Gli effetti del sistema di sforzi precedente su di un fluido, sono differenti nel caso di fluido isotropo (come ad esempio acqua ed aria) oppure anisotropo (come ad esempio il sangue, le cui molecole conferiscono al fluido proprietà diverse nelle differenti direzioni). L'esperienza fisica dimostra che i fluidi che interessano l'aerodinamica e l'idrodinamica sono fluidi newtoniani ed isotropi, altrimenti detti fluidi stokesiani. Analizzeremo perciò un fluido isotropo, dove cioè dovrà essere ε12 = 0:

\begin{cases}
\varepsilon_{ik} = 0 \qquad &\mathrm{per \ } i \ne k \\
\varepsilon_{11} > 0 \\
\varepsilon_{22} = \varepsilon_{33} < \varepsilon_{11} \, .\\
\end{cases}

Resta infine da considerare il caso più generale, dove cioè tutte le componenti degli sforzi saranno diversi da zero:

\sigma_{ik} \ne 0 \quad \forall i;k \qquad \Rightarrow \qquad \varepsilon_{ik} \ne 0 \quad \forall i;k.

Ogni componente del tensore degli sforzi sarà una certa funzione, lineare per fluidi newtoniani, delle componenti del tensore delle velocità di deformazione. Sviluppando tale funzione in serie di Taylor (arrestata al primo ordine per la sua proprietà di linearità), si ottiene:

\sigma_{ik} = f_0 + f_1(\varepsilon_{mn}).

Resta ora da ricavare tali funzioni lineari: trattando il problema in un sistema di riferimento particolare quale quello degli assi principali di deformazione, si ha:

\begin{cases}
\sigma_{11} = f_0 + a_1 \varepsilon_{11} + b_1 \varepsilon_{22} + b_1 \varepsilon_{33}\\
\sigma_{22} = f_0 + a_2 \varepsilon_{22} + b_2 \varepsilon_{11} + b_2 \varepsilon_{33}\\
\sigma_{33} = f_0 + a_3 \varepsilon_{33} + b_3 \varepsilon_{11} + b_3 \varepsilon_{22}.\\
\end{cases}

Nel primo caso analizzato sarà quindi:

f_0 = -p.\

A causa del fatto che studiamo un fluido stokesiano, vi è inoltre completa equivalenza di comportamento tra le tre direzioni principali di deformazione x1, x2, x3 e quindi:

\begin{cases}
a_1 = a_2 = a_3 = a\\
b_1 = b_2 = b_3 = b\\
\end{cases}

e dunque il sistema iniziale si potrà scrivere come:

\begin{cases}
\sigma_{11} = f_0 + (a-b) \varepsilon_{11} + b \sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ii}\\
\sigma_{22} = f_0 + (a-b) \varepsilon_{22} + b \sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ii}\\
\sigma_{33} = f_0 + (a-b) \varepsilon_{33} + b \sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ii}.\\
\end{cases}

Infine, tenendo conto che

\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ii} = \nabla \cdot \langle \bar v \rangle

e ponendo per comodità

\begin{cases}
a - b = 2\mu\\
b = \eta\\
\end{cases}

si ottiene:

\begin{cases}
\sigma_{11} = -p + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + 2\mu \, \varepsilon_{11}\\
\sigma_{22} = -p + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + 2\mu \, \varepsilon_{22}\\
\sigma_{33} = -p + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + 2\mu \, \varepsilon_{33}\\
\end{cases}

dove il secondo termine a secondo membro descrive l'effetto della viscosità dovuto alla variazione di volume di una particella di fluido.

Non resta ora che generalizzare il sistema di equazioni precedente al caso di una terna di riferimento qualsiasi:

\begin{cases}
\sigma_{kk} = -p + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + 2\mu \, \varepsilon_{kk}\\
\sigma_{ik} = 2\mu \, \varepsilon_{ik} \qquad i \ne k.\\
\end{cases}

La prima equazione del sistema precedente evidenzia il fatto che, nel caso generale, i tre sforzi normali sono differenti tra loro. La loro media è:


\frac{\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}}{3} = - p + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \frac{2}{3} \; \mu \left( \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \right) = - p + \eta \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \frac{2}{3} \; \mu \nabla \cdot \langle \bar v \rangle
= - p + \mu' \nabla \cdot \langle \bar v \rangle

dove con μ' si è indicata la viscosità che rappresenta la differenza tra lo sforzo normale medio e la pressione di un fluido. Il valore della viscosità in genere è trascurabile per i gas, in particolare per quelli monoatomici.

Conservazione dell'energia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi primo principio della termodinamica#Sistema continuo non reagente.

Il primo principio della termodinamica, ovvero il principio di conservazione dell'energia può essere espresso dicendo che:

La variazione nell'unità di tempo dell'energia totale del fluido contenuto nel volume di controllo sommata al flusso netto di energia totale attraverso le facce del volume di controllo uguaglia la somma della potenza delle forze agenti sull'elemento di fluido e del flusso netto di energia termica trasmessa all'elemento di fluido per conduzione.

Come si nota in questa formulazione viene trascurata l'energia trasmessa all'elemento per irraggiamento. Formalizzando matematicamente questo principio si sfrutterà il concetto di densità hamiltoniana totale e che è uno scalare definito come:

k = u + h

cioè la somma tra l'la densità di energia interna e di hamiltoniana. Solitamente si comincia col trattare il caso più semplice di un sistema scleronomo, cioè in cui nelle condizioni al contorno non figura esplicitamente il tempo, (per cui l'hamiltoniana totale viene chiamata energia meccanica totale) senza campi conservativi, per cui la densità meccanica:

e = u + \frac {1} {2} v^2

Nell'enunciato del primo principio si parla di flusso netto di energia totale: come per la quantità di moto si indicherà questo flusso come il prodotto tra il flusso di massa e l'energia totale per unità di massa trasportata in ogni direzione:

 \Phi_e=\frac {\partial u \rho v_x} {\partial x} + \frac {\partial u \rho v_y} {\partial y} + \frac {\partial e \rho v_z} {\partial z}

La potenza degli sforzi agenti sul differenziale volumetrico di fluido considerato comprende sia la potenza sviluppata dagli sforzi viscosi del tensore  S sia gli sforzi associati alla pressione.

Ricorrendo alla definizione di potenza come prodotto di una forza per una velocità, si potrà scrivere:

\Delta P=\frac {\partial (\Delta \sigma_{11}v_1+\Delta \sigma_{21}v_2+\Delta \sigma_{31}v_3)} {\partial r_1}+\frac {\partial (\Delta \sigma_{12}v_1+\Delta \sigma_{22}v_2+\Delta \sigma_{32}v_3)} {\partial r_3}+\frac {\partial (\Delta \sigma_{13}v_1+\Delta \sigma_{23}v_2+\Delta \sigma_{33}v_3)} {\partial r_3}

per quanto riguarda gli sforzi viscosi, mentre per la pressione sarà:

 \langle P \rangle =-\left(\frac {\partial p v_1} {\partial r_1} + \frac {\partial p v_2} {\partial r_2} + \frac {\partial p v_3} {\partial r_3}\right)

La potenza delle forze di campo si definisce come:

P_g=\rho g_1 v_1+\rho g_2 v_2+\rho g_3 v_3

Per quanto riguarda la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso le facce del differenziale di volume è necessaria la definizione di un vettore \bar q=[q_1, q_2, q_3]^T flusso termico. Sarà possibile scrivere:

-\left(\frac {\partial q_1} {\partial r_1} + \frac {\partial q_2} {\partial r_2} + \frac {\partial q_3} {\partial r_3}\right)

L'equazione completa che formalizza il primo principio della termodinamica per i fluidi in movimento sarà quindi:

\frac {\partial \rho e} {\partial t} + \frac {\partial u \rho v_1} {\partial r_1} + \frac {\partial u \rho v_2} {\partial r_2} + \frac {\partial e \rho v_3} {\partial r_3} = -\left(\frac {\partial p v_1} {\partial r_1} + \frac {\partial p v_2} {\partial r_2} + \frac {\partial p v_3} {\partial r_3}\right)+ \frac {\partial (\Delta \sigma_{11}v_1+\Delta \sigma_{21}v_2+\Delta \sigma_{31}v_3)} {\partial 1}+\frac {\partial (\Delta \sigma_{12}v_1+\Delta \sigma_{22}v_2+\Delta \sigma_{32}v_3)} {\partial r_2} + \frac {\partial (\Delta \sigma_{13}v_1+\Delta \sigma_{23}v_2+\Delta \sigma_{33}v_3)} {\partial r_3} + \rho a_1v_1+\rho a_2v_2 + \rho a_3v_3 - \left(\frac {\partial q_1} {\partial r_1} + \frac {\partial q_2} {\partial r_2} + \frac {\partial q_3} {\partial r_3}\right)

Osservazioni e chiusura del problema[modifica | modifica sorgente]

Le 3 equazioni (due equazioni scalari ed un'equazione vettoriale) appena derivate sono insufficienti, da sole, alla chiusura del problema della determinazione del campo di moto del fluido. Infatti le equazioni contengono 20 incognite:

Queste equazioni sono del tutto generali e per la loro applicazione è necessaria una sorta di specializzazione delle stesse alla situazione di lavoro.

Per la chiusura del problema è quindi necessario definire le proprietà termofisiche del fluido in esame (che permettono di definire la conducibilità termica, la densità, l'energia interna e una o più equazioni di stato in grado di determinare anche temperatura e pressione) e il campo di forze in cui si muove (determinando il vettore di accelerazioni di campo). Inoltre si osserva che il tensore degli sforzi viscosi S è simmetrico, con la conseguenza che le incognite effettivamente contenute sono 6 e non 9 e sono determinabili sperimentalmente o teoricamente specificando il tipo di fluido. Saranno successivamente necessarie le condizioni iniziali e le condizioni al contorno, trattandosi di equazioni differenziali (problema di Cauchy o problema di von Neumann).

Equazioni di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazioni di Eulero.

Relazioni di salto[modifica | modifica sorgente]

Discontinuità di contatto[modifica | modifica sorgente]

Onda d'urto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi onda d'urto (fluidodinamica).

Le equazioni in forma adimensionale[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni scritte nei paragrafi precedenti sono in forma dimensionale, nel senso che ogni termine possiede dimensioni fisiche della grandezza considerata:

  •  \mathrm{ \left[ \frac{kg}{m^3 \, s} \right] \qquad } nella prima equazione;
  • \mathrm{ \left[ \frac{kg}{m^2 \, s^2} \right] \qquad } nelle tre equazioni della quantità di moto;
  • \mathrm{ \left[ \frac{kg}{m \, s^3} \right] \qquad } nell'ultima equazione.

Di conseguenza, volendo confrontare tra loro i numerosi coefficienti per sapere quali di essi sia il più preponderante nei vari casi in esame, bisognerebbe calcolare il valore di ogni singolo termine. Un metodo pratico per ovviare a questa necessità è quello di dividere ogni coefficiente per una certa grandezza omogenea di riferimento, in tal modo i coefficienti risulteranno adimensionali. Queste grandezze di riferimento saranno scelte in base alle condizioni al contorno ed alle condizioni iniziali del particolare problema fluidodinamico che si vuole esaminare. Qui sono indicate con il pedice 0 (zero):

\rho^* = \frac{\rho}{\rho_0} \qquad {\langle v \rangle_i}^* = \frac{\langle v \rangle_i}{\langle v \rangle_0} \qquad p^* = \frac{p}{p_0} \qquad t^* = \frac{t}{t_0} \qquad x^* = \frac{x_i}{L_0} \qquad T^* = \frac{T}{T_0}

L'equazione di conservazione della massa[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di conservazione della massa scritta nella forma:

\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \langle \bar v \rangle = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\langle \bar v \rangle \cdot \nabla) \rho + \rho \nabla \cdot \langle \bar v \rangle = 0

può essere resa adimensionale esprimendola nella forma:

\mathrm{St} \; \frac{\partial \rho^*}{\partial t^*} + (\langle \bar v \rangle^* \cdot \nabla^*) \rho^* + \rho^* \nabla^* \cdot \langle \bar v \rangle^* = 0

dove con il simbolo St si è indicato il gruppo adimensionale, detto numero di Strouhal:

  • \mathrm{St} = \frac{L_0}{\langle v \rangle_0 \; t_0}.

Le equazioni di conservazione della quantità di moto[modifica | modifica sorgente]

Vedi anche Vedi anche la sezione Derivazione dalle equazioni di Navier-Stokes.

Le equazioni di conservazione della quantità di moto possono essere adimensionalizzate nella forma:

\mathrm{St} \left( \rho^* \frac{\partial \langle \bar v \rangle^*}{\partial t^*} \right) + \rho^* \left( \langle \bar v \rangle^* \cdot \nabla^* \right) \langle \bar v \rangle^* = - \frac{1}{\mathrm{Ru}} \nabla^* p^* - \frac{1}{\mathrm{Fr}^2} \rho^* \bar k + \frac{1}{\mathrm{Re}} {\nabla^*}^2 \langle \bar v \rangle^* + \frac{1}{3 \, \mathrm{Re}} \nabla^* \left( \nabla^* \cdot \langle \bar v \rangle^* \right)

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

Nel caso in cui la viscosità dinamica \mu non sia costante, si troverà un valore di riferimento \mu_0 e si utilizzerà all'interno dell'equazione il valore adimensionale \mu^* .

Bilancio di energia interna[modifica | modifica sorgente]

Il bilancio dell'Energia interna viene espressa in funzione di termini adimensionali:

\mathrm{St} \left( \rho^* \frac{\partial T^*}{\partial t^*} \right) + \rho^* \left( \langle \bar v \rangle^* \cdot \nabla^* \right) T^* = \mathrm{St} \,  \frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Ru}} \, \frac{\partial p^*}{\partial t^*} + \frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Ru}} \left( \langle \bar v \rangle^* \cdot \nabla^* \right) p^* + \frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Re}} \Phi^* + \frac{1}{\mathrm{Pr} \, \mathrm{Re}} {\nabla^*}^2 T^* + \frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Pr} \, \mathrm{Re}} \rho^* \dot{q}^*

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Bird, Stewart, Lightfoot, Fenomeni di trasporto, Casa editrice ambrosiana, Milano 1979.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2ª ed., New York, Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]