Legge di Hooke

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La legge di Hooke fornisce una rappresentazione accurata del comportamento meccanico delle molle per piccole variazioni della lunghezza

In meccanica, e fisica, la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di comportamento dei materiali elastici. Essa è formulata dicendo che l'allungamento subìto da una molla è direttamente proporzionale alla forza applicata. La costante di proporzionalità viene detta costante elastica e dipende dalla molla stessa. I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono detti materiali elastico-lineari. Il modello classico di elasticità lineare è la molla perfetta o ideale, cioè una molla priva di peso, di massa, in assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi.

[modifica] Storia e dimostrazione

Proprio nello studio del comportamento delle molle, la legge fu per prima formulata da Robert Hooke nel 1675, nella forma dell'anagramma latino "ceiiinosssttuv", la cui soluzione fu da Hooke pubblicata nel 1678 come "Ut tensio, sic vis" che significa "come l'estensione, così la forza", cioè l'allungamento prodotto (nella molla) $\delta$ è direttamente proporzionale alla forza $F$ impressa:

$F=k\,\delta$

La costante $k$ rappresenta il coefficiente elastico della molla, espresso in N/m.

La rappresentazione moderna della legge di Hooke fa riferimento ai concetti di tensione ${\boldsymbol \sigma}$ e deformazione $\boldsymbol{\epsilon}$ ed è fornita nel caso monodimensionale dalla relazione:

${\sigma}= E\, {\epsilon}$

dove $E$ è il modulo di elasticità di Young. Nel caso di tensioni e deformazioni pluriassiali la legge è invece rappresentata in termini tensoriali dalla relazione (legge di Hooke generalizzata):

${\boldsymbol \sigma}= \mathbb{C}\, \boldsymbol{\epsilon}$

dove l'operatore lineare $\mathbb{C}$ (un tensore del quarto ordine) è detto tensore di elasticità. Dei suoi 81 coefficienti scalari ${C}_{ijhk}$ , esso ha in generale 36 coefficienti indipendenti, che si riducono a 21 nel caso di materiale iperelastico, ed a soli due nel caso di materiale isotropo. In tale ultimo caso il legame costitutivo è dato dalla relazione:

${\boldsymbol \sigma} = \lambda~\text{tr}(\boldsymbol{\epsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2~\mu~\boldsymbol{\epsilon}$

in termini di due soli parametri scalari elastici $(\lambda,\mu)\!$ detti costanti di Lamé. L'espressione inversa del legame costitutivo è la seguente:

${\boldsymbol \epsilon}=\frac{1}{2\mu}\,\boldsymbol{\sigma}-\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)} \,\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})\, \boldsymbol{\mathit{1}}$