Equazioni di Eulero (fluidodinamica)

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In fluidodinamica, le equazioni di Eulero rappresentano una particolare forma semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, ottenute nel caso sussista l'ipotesi semplificativa di flusso inviscido, ovvero flusso con viscosità trascurabile.

Le equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni di Eulero, nella forma più generale possibile, sono:

\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+ \mathbf\nabla \cdot \left(\rho\ \mathbf u \right)=0\\\\
\displaystyle \frac{\partial \rho \mathbf u}{\partial t}+  \mathbf\nabla \cdot \left(\rho\ \mathbf u \otimes \mathbf u +P\,\textrm I\right)=0\\\\
\displaystyle \frac{\partial E^{t}}{\partial t}+  \mathbf\nabla \cdot \left[\mathbf u \left(E^{t}+P \right)\right]=0
\end{array}\right.

Dove ρ è la densità del fluido, u la sua velocità, P la pressione, Et la energia totale per unità di volume. Il sistema di equazioni va completato con un modello completo di fluido, ovvero fornendo un'equazione canonica o due equazioni di stato.

Per quanto riguarda le prime due equazioni del sistema, esse descrivono il bilancio della massa (equazione di continuità) e della quantità di moto in un fluido. Considerando un caso bidimensionale e stazionario, possiamo esprimerle in termini di componenti di velocità (u, v), densità ρ e pressione p per ogni punto (x,y) di un sistema di riferimento cartesiano.

Equazione di continuità:

\frac {\partial \rho u} {\partial x} + \frac {\partial \rho v} {\partial y}=0

Quantità di moto lungo x:

\frac {\partial \rho u^2} {\partial x} + \frac {\partial \rho u v}{\partial y} = - \frac {\partial p}{\partial x}

Quantità di moto lungo y:

\frac {\partial \rho uv} {\partial x} + \frac {\partial \rho v^2}{\partial y} = - \frac {\partial p}{\partial y}

Se consideriamo il fluido incomprimibile, cosa plausibile per basse velocità, ovviamente la densità resta costante, e le equazioni diventano quindi: Equazione di continuità:

\frac {\partial u} {\partial x} + \frac {\partial v} {\partial y}=0

Quantità di moto lungo x:

u \frac {\partial u} {\partial x} + v \frac {\partial u }{\partial y} = - \frac 1  \rho \frac {\partial p}{\partial x}

Quantità di moto lungo y:

u\frac {\partial v} {\partial x} + v \frac {\partial v}{\partial y} = -  \frac 1  \rho \frac {\partial p}{\partial y}

Le equazioni differenziali date sopra sono solitamente risolte tramite metodi numerici nella fluidodinamica computazionale (CFD).

Rivestono inoltre una enorme importanza in diversi problemi di fluidodinamica. Possono ad esempio essere usate per il calcolo delle forze aerodinamiche (portanza e resistenza) agenti su un profilo alare, se accoppiate con una trattazione dello strato limite nelle regioni in prossimità del corpo.

Devono il loro nome al matematico e fisico svizzero Leonhard Euler, di cui fu allievo Bernoulli.

Tali equazioni inoltre, integrate lungo una linea di flusso in caso di flusso incomprimibile (\nabla \cdot \mathbf u=0) e stazionario (ovvero flusso non dipendente dal tempo), conducono alla ben nota equazione di Bernoulli, che esprime in maniera molto semplice la relazione tra pressione e velocità. Dall'integrazione in direzione normale alle linee di flusso può invece essere dimostrato l'effetto Coandă.

Estensione[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni di Eulero trascurano la viscosità del fluido. Quando questa assume rilevanza, la forma generale delle equazioni del moto di un fluido è data dall'equazione di Navier.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]