Teoria cinetica dei gas

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Rappresentazione di un sistema gassoso secondo la teoria cinetica dei gas.

La teoria cinetica dei gas è la teoria che spiega le proprietà macroscopiche dei gas partendo dalla considerazione della loro composizione a livello molecolare.

Indice

[modifica] Modello

La teoria cinetica si basa sull'assunzione di alcune ipotesi:

  1. Le molecole di cui sono composti i gas sono considerate come punti materiali in moto casuale e a distribuzione uniforme nello spazio che seguono l'ipotesi del caos molecolare. Esse collidono tra loro e con le pareti del recipiente con urti perfettamente elastici.
  2. Il numero delle molecole è grande cosicché si possano usare metodi statistici.
  3. Il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile rispetto al volume del contenitore.
  4. L'interazione tra le molecole è trascurabile, eccetto durante l'urto tra di loro che avviene in maniera impulsiva.
  5. Le molecole sono perfettamente sferiche
  6. Gli effetti relativistici e quantistici sono trascurabili.

Le ipotesi precedenti descrivono accuratamente il comportamento dei gas ideali. I gas reali si avvicinano all'ideale sotto condizioni di bassa densità o alta temperatura (lontani dalla condensazione).

[modifica] Pressione

Urto elastico di una particella contro la parete del recipiente

La pressione è spiegata dalla teoria cinetica come conseguenza delle forze esercitate dalle collisioni delle molecole del gas con le pareti del recipiente. Supponiamo dunque una molecola di massa m che urta contro la parete del recipiente come in figura. Sappiamo che essa trasmette alla parete un impulso che è uguale alla differenza della quantità di moto della particella prima e dopo l'urto. Inoltre per l'ipotesi 1) l'urto è elastico e si conserva sia la quantità di moto totale del sistema che l'energia:

\vec I = \Delta \vec q = \vec q_f - \vec q_i
\frac{1}{2} m \vec v^{2} = \frac{1}{2} m \vec v'^{2}

Dall'esempio in figura l'unica componente che varia è la direzione della velocità, quindi la quantità di moto lungo y e l'energia (cinetica) restano uguali. La componente lungo x resta uguale in modulo. Allora avremo:

m v_y = m v_{y}^{'}; \; \; \; m v_x = - m v_{x}^{'}

quindi:

\Delta \vec q_x = - m v_x - m v_x = -2 m v_x

Possiamo ora stimare la forza media che la parete esercita sulla molecola. La particella considerata collide con la parete una volta ogni 2L/vxunità di tempo, dove L è la lunghezza del contenitore (tragitto della particella). La forza esercitata dalla particella risultante è

\overline{f^m} = \frac{\Delta q}{\Delta t}

quindi:

\overline{f_{x}^{m}} = \frac{-2 m v_x}{\Delta t} = - \frac{m v_{x}^{2}}{L}

Per il terzo principio della dinamica questa forza ha segno opposto alla forza che la molecola trasferisce sulla parete. La forza totale esercitata dal gas sulla parete è quindi la somma di tutte le forze esercitate dalle molecole:

F_x = \frac{m}{L} \sum_{i = 1}^{N} v_{ix}^{2}

Definiamo il valore medio della velocità lungo x, come media delle velocità lungo la direzione x per tutte le molecole (N):

\overline{v_{x}^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} v_{ix}^2

si ottiene:

F_x = \frac{m N} L \overline{v_{x}^{2}}

La pressione lungo la direzione x è allora:

p = \frac{F_x}{S} = \frac{F_x}{L^2}= \frac{m}{L^3} N \cdot \overline{v_{x}^2}

N è il numero di particelle che è uguale anche a: N = n \cdot N_A, dove N_A = 6.022 \cdot 10^{23} è il numero di Avogadro e n è il numero di moli del gas, inoltre L3 = V. Quindi possiamo riscrivere la pressione lungo x come:

p = \frac{m}{V} n \cdot N_A \cdot \overline{v_{x}^2}

Poiché per definizione m \cdot N_A = M dove M è la massa molare, allora abbiamo un altro modo di scrivere la pressione:

p = \frac{n \cdot M \cdot \overline{v_{x}^2}}{V}

Per ipotesi il gas ha distribuzione uniforme quindi le velocità:

\overline{v_{x}^{2}} = \overline{v_{y}^{2}} = \overline{v_{z}^{2}} = \frac{1}{3} \overline{v^{2}}

Definiamo la velocità quadratica media come:

v_{rms}^2 = \overline{v^{2}}

abbiamo per la pressione:

p = \frac{M \cdot n \cdot v_{rms}^2}{3 V}

Questa equazione per la pressione (o quella precedente) mette in relazione la velocità delle molecole con la pressione che esse esercitano sul recipiente. Vedremo nella sezione successiva come la velocità stessa sia influenzata dalla temperatura. Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti: pV = nRT, dove R è la costante del gas perfetto, pari a 8,3143 J/(mol × K), possiamo estrapolare una stima della velocità quadratica media:

v_{rms}^2 = \frac{3 R T}{M}

Da quest'ultima si deduce che la velocità delle molecole è direttamente proporzionale alla radice quadrata della temperatura e dipende ovviamente dalla massa molare delle molecole.

[modifica] Energia cinetica

L'energia cinetica media di una molecola del gas è:

\overline{K} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

dalla definizione della velocità media:

\overline{K} = \frac{1}{2} m \cdot \overline{v^2} =\frac{1}{2} m \cdot v_{rms}^{2}

e dalla relazione trovata precedentemente per la velocità quadratica media, possiamo scrivere:

\overline{K} = \frac{1}{2} m \cdot \frac{3 R T}{M}

ricordando che M / m = NA e che R / NA = kB dove k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} \, J/K è la costante di Boltzmann abbiamo:

\overline{K} = \frac{3RT}{2N_A} = \frac{3}{2} k_B T

cioè la temperatura è una misura dell'energia cinetica media delle molecole. Questa formula, come quella precedente per la pressione, mette in relazione una grandezza microscopica come l'energia cinetica delle particelle di gas e una grandezza macroscopica come la loro temperatura.

[modifica] Energia interna

Possiamo determinare l'energia interna del gas che rappresenta l'energia di tutte le molecole, che appare nel primo principio della termodinamica. Essa è quindi data dall'equazione:

U = N \cdot \overline{K} = n \cdot N_A \frac{3}{2} k_B \cdot T

Poiché N_A \cdot k_B = R allora:

U = \frac{3}{2} n \cdot R \cdot T

valido per un gas monoatomico, poiché in generale non si è tenuto conto dei contributi dell'energia dovuti agli effetti vibrazionali e rotazionali. Ancora una volta vediamo come l'energia interna sia dipendente solamente dalla temperatura che a sua volta dipende dal tipo di molecola e dalla sua velocità.

[modifica] Bibliografia


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_cinetica_dei_gas"
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