Equazione di stato dei gas perfetti

Isoterme di un gas ideale

L'equazione di stato dei gas perfetti, nota anche come legge dei gas perfetti, descrive le condizioni fisiche di un "gas perfetto" o di un gas "ideale", correlandone le funzioni di stato: quantità di sostanza, pressione, volume e temperatura.

Formulazione

La sua espressione più comune è:

$pV = nRT \! \;$

in cui

• p è il valore della pressione del gas;
• V è il volume occupato dal gas;
• n sono le moli del gas;
• R è la costante universale dei gas, il cui valore varia in funzione delle unità di misura adottate per esprimere le altre grandezze nell'equazione;
• T è la temperatura assoluta del gas, espressa in kelvin.

Il valore di R nel Sistema internazionale è:

$R = 8{,}314472 \ \mathrm{J \over { mol \cdot K } }$

a volte nei calcoli, specialmente in chimica, si utilizza il valore di:

$R = 0{,}0821 \ \mathrm{ { L \cdot atm } \over { mol \cdot K } } \, .$

Questa equazione rappresenta una generalizzazione delle leggi empiriche osservate da Boyle (in un gas, in condizioni di temperatura costante, il volume è inversamente proporzionale alla pressione), Gay-Lussac (in un gas a volume costante, la pressione è proporzionale alla temperatura assoluta) e Charles (in un gas a pressione costante, il volume è proporzionale alla temperatura assoluta), ottenibili rispettivamente per T costante, V costante e P costante.

L'equazione di stato dei gas perfetti descrive bene il comportamento dei gas reali per pressioni non troppo elevate e per temperature non troppo vicine alla temperatura di liquefazione del gas. In questi casi, una migliore descrizione del comportamento del gas è dato dall'equazione di stato di van der Waals

Formulazione alternativa (microscopica)

Spesso in meccanica statistica si preferisce utilizzare una forma alternativa per la legge che contenga il numero di molecole di gas piuttosto che le moli.

Definita la costante di Boltzmann

$k = { R \over N_a }$

dove $N_a$ è il numero di Avogadro; e osservato che $N = N_a n$ è il numero di molecole del gas si ricava:

$pV = nRT = { N \over N_a } RT = N { R \over N_a } T = NkT$

$pV = k\ NT$

Ulteriore formulazione

Siccome la quantità di una sostanza può essere data in termini di massa anziché di moli, spesso è usata questa ulteriore formulazione. Il numero di moli n è pari alla massa m divisa per la massa molare M:

$n = {\frac{m}{M}}$

Sostituendo $n \,$, otteniamo:

$\ pV = \frac{m}{M}RT$

da cui

$\ p = \frac{\rho}{M}RT$

Quest'ultima formulazione della legge dei gas ideali è molto utile perché collega pressione, densità ρ = m/V e temperatura in un'unica formula indipendente dalla quantità del gas considerato.

Dimostrazione

L'equazione di stato dei gas perfetti è dimostrabile a partire dalle leggi empiriche di Boyle, Charles e Gay-Lussac.

Si consideri una mole di gas di volume $v_0$ ad uno stato iniziale caratterizzato da:

$\begin{align} p_0 &= 1 \ \mathrm{atm} \\ t_0 &= 0 \ \mathrm{^\circ C} \, . \\ \end{align}$

Si consideri una trasformazione isobara (a pressione costante) applicata a questo volume di gas: il volume alla fine dalla trasformazione sarà, secondo la legge di Charles:

$v' = v_0(1 + \alpha t) \,$

e la temperatura sarà $t$ (in gradi centigradi).

Se poi si fa andare il volume così ottenuto incontro ad una trasformazione isoterma otterremo, secondo la legge di Boyle-Mariotte:

$p_0v' = pv \,\!$

Quindi:

$\begin{align} pv &= p_0v' \\ pv &= p_0v_0 \, (1 + \alpha t) \\ pv &= p_0 \, {v_0 \over 273{,}15}T \, . \\ \end{align}$

Dove $p_0{v_0 \over 273{,}15}$ ha carattere di universalità ed è la costante R. Adottando questa notazione abbiamo che:

$pv = RT \,\!$

Moltiplicando ambo i membri per n (moli):

$pnv = nRT \,\!$

Dove $nv$ è il volume di n moli, indicato con V. Utilizzando questa notazione otteniamo infine:

$pV = nRT \,\!$

Corollario

L'equazione di stato dei gas perfetti viene anche ridotta nella maniera seguente: $\frac{pV}{T}=Nk$, cioè il prodotto di pressione, volume e dell'inverso della temperatura assoluta è costante nelle varie trasformazioni fisiche a cui il gas perfetto venga sottoposto.

Bibliografia

• Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10^a ed., CEA, 1996. ISBN 8840809988

Voci correlate

• Gas ideale
• Legge di van der Waals
• Volume molare

Collegamenti esterni

• Animazione interattiva in Java - In questa pagina è disponibile un'animazione interattiva che permette di simulare il comportamento di un gas al variare della pressione (cursore indicato con P), della temperatura (cursore T) e del numero di molecole (cursore N).

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