Numero di Reynolds

Il numero di Reynolds (Re) è un gruppo adimensionale usato in fluidodinamica, proporzionale al rapporto tra le forze d'inerzia e le forze viscose.

Permette di valutare se il flusso di scorrimento di un fluido è in regime laminare (in corrispondenza del quale si hanno valori più bassi del numero di Reynolds) o turbolento (in corrispondenza del quale si hanno valori più elevati del parametro). Tale passaggio tra regime laminare e regime turbolento può essere previsto sfruttando il diagramma di Moody, con il quale può essere calcolato il coefficiente di attrito viscoso a partire dai valori del numero di Reynolds e della scabrezza relativa. Fu concepito dall'autore nel 1883 eseguendo per la prima volta in modo sistematico esperimenti sul flusso all'interno di tubi a sezione circolare trasparente ad asse rettilineo nel quale circolava un flusso a portata costante, nel quale, per mezzo di un ago, veniva iniettato un colorante in modo da evidenziare il regime di flusso.

Come spiegato in seguito, i valori del numero di Reynolds sono da considerarsi "bassi" o "elevati" relativamente ad uno specifico sistema, in cui siano fissate:

• la geometria del corpo investito dal flusso;
• la natura del fluido;
• le condizioni operative (temperatura e pressione) alle quali avviene l'esperienza.

Viene definito numero di Reynolds critico il valore del numero di Reynolds in corrispondenza del quale si ha il passaggio da regime laminare a regime turbolento.

Definizione

Nel caso più generale il numero di Reynolds è scritto come:

$\mathrm{Re} = {\rho \langle v \rangle d \over \mu} = {\langle v \rangle d \over \mathcal D_V}$

dove:

• ρ è la densità,
• <v> è la velocità media,
• d è una lunghezza convenzionale(es. nel caso di un profilo alare si utilizzerà la corda)
• μ è la viscosità dinamica,
• $\mathcal D_V$ è la viscosità cinematica.

Regime di flusso

• per valori $\mathrm{Re} \le 2\,300$ si ha flusso laminare

• per valori $2\,300 \le \mathrm{Re} \le 3\,500$ si attraversa il regime di transizione

• per valori $\mathrm{Re} \ge 3\,500$ si ha flusso turbolento.

Dipendenza dalla geometria del sistema

Considerando un determinato fluido a fissate condizioni di temperatura e pressione (quindi mantenendo costanti la densità e la viscosità nell'espressione del numero di Reynolds), i valori limite ricavati nell'esperienza di Reynolds valgono solo per la specifica geometria considerata, in cui il fluido è fatto passare sulla superficie esterna di un tubo cilindrico ad asse rettilineo, in direzione perpendicolare all'asse del tubo. In particolare, il valore del numero di Reynolds che separa regime laminare e regime turbolento dipende dalla forma del corpo (o dell'insieme di corpi) in corrispondenza del quale passa il fluido e dall'orientamento del corpo rispetto al flusso (ad eccezione dei corpi sferici, essendo simmetrici in tutte le direzioni). Per cui se si considera ad esempio il caso di un fluido passante sulla superficie esterna di una sfera, un tubo, un cubo, o un insieme di tubi, si avrà per ogni caso un diverso numero di Reynolds al quale avviene la transizione laminare/turbolento.

Ad esempio, un fluido che scorre all'interno di un condotto viene considerato in regime laminare se il valore numerico di Re è inferiore a 1200, turbolento se superiore a 10000. Se 1200 < Re < 10000 si è in regime di transizione.

Nella tabella che segue sono raccolti alcuni valori limite del numero di Reynolds per diverse geometrie:

Geometria	Regime laminare	Regime di transizione	Regime turbolento	Rappresentazione della geometria
Flusso attorno ad una lamina piana, in direzione parallela all'asse della lamina	Re < 5×105	5×105 < Re < 107	Re > 107
Flusso attorno ad un cilindro, in direzione perpendicolare all'asse del cilindro	Re < 2×105	Re ≅ 2×105	Re > 2×105
Flusso attorno ad una sfera	Re < 2×105	Re ≅ 2×105	Re > 2×105
Flusso all'interno di un tubo cilindrico	Re < 2300	2300 < Re < 104	Re > 104

Numero di Reynolds e velocità del fluido

Avendo fissato la geometria del sistema, la composizione del fluido, la temperatura e la pressione, nell'espressione del numero di Reynolds le uniche variabili rimaste sono il numero di Reynolds e la velocità del fluido. Se ne deduce che, con tali assunzioni, all'aumentare del numero di Reynolds aumenta la velocità del fluido, mentre al diminuire del numero di Reynolds diminuisce la velocità del fluido; quindi un fluido in regime laminare possiede una velocità minore rispetto allo stesso fluido in regime turbolento, o in altre parole, il passaggio tra regime laminare e regime turbolento si manifesta aumentando la velocità del fluido.

Ad esempio nel caso di un fluido che scorre all'interno di un tubo, il passaggio al regime turbolento si può ottenere aumentando il numero di giri di una pompa posizionata a monte del condotto.

Numero di Reynolds e forze viscose ed inerziali

Il numero di Reynolds è un parametro adimensionale che fisicamente rappresenta il rapporto tra le forze d'inerzia e quelle viscose agenti su una particella fluida che si muove con velocità U all'interno dello stesso fluido:

$\mathrm{Re} = F_i/F_\nu$

La forza inerziale infatti vale:

$F_i = m \, a \simeq \rho S L \, \frac{L}{t^2}$

quella viscosa invece:

$F_\nu = \frac{\mu S \Delta U}{\Delta L} \simeq \frac{\mu S L}{(Lt)}$

il rapporto tra le due forze fornisce l'espressione generale del numero di Reynolds:

$Re = \rho L \, \frac{L}{t} \, \frac{1}{\mu} = \frac{\rho L U}{\mu}$

Derivazione dalle equazioni di Navier-Stokes

Il numero di Reynolds può essere ricavato dalle equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili, in forma adimensionale. Queste possono essere ricavate, dall'equazione originale (considerando per semplicità una generica accelerazione esterna di volume g)

$\rho \left( \frac {\partial \mathbf{v}} {\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{g}$

operando semplici sostituzioni che rendano adimensionali i termini che in essa compaiono, e precisamente

$\vec v' = \frac {\vec v} {U} , p' = \frac {p}{\rho U^2} , x' = \frac {x}{L}$

dove U ed L corrispondono a quelli definiti in precedenza, si ottiene per gli operatori

$\frac {\partial}{\partial t'} = \frac {L}{U} \frac {\partial} {\partial t}$ e $\nabla' = L \nabla$

per cui l'equazione diventa

$\rho \frac {U^2}{L} \left( \frac {\partial \mathbf{v'}} {\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} \right) = - \frac {\rho U^2} {L} \nabla' p' + \mu \frac {U} {L^2} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{g}$

Moltiplicando l'intera equazione per $\frac {L} {\rho U^2}$ e definendo $\mathbf{g'}=\mathbf{g} \frac {L} {\rho U^2}$ si ottiene

$\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho L U} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{g'}$

Si vede quindi come, con la definizione di numero di Reynolds già presentata, l'equazione possa essere scritta

$\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{1}{Re} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{g'}$

Bibliografia

• R. Byron Bird; Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena , 2^a ed. (in inglese), New York, Wiley, 2005. ISBN 0-470-11539-4
• Frank P. Incropera; David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer , 6^a ed. (in inglese), Wiley, 2006. ISBN 0-471-45728-0

Voci correlate

• Equazioni di Navier-Stokes
• Regime laminare
• Regime turbolento
• Diagramma di Moody
• Vortici di von Karman
• Equazione di Colebrook
• Legge di Stokes

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